fill exam list from first addchapters1 lecture

addchapters1/addchapters1_2024_09_06.tex

@@ -20,6 +20,8 @@
 
     \ExNs{2} $u_n = 1, -1, 1, -1, \dots$
 
+    \hypertarget{numberseriesdefinition}{}
+
     \Def $\{u_n\}$ - последовательность
 
     $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots$ называется числовым рядом
@@ -54,6 +56,9 @@
 
     $\lim_{n \to \infty} S_n = ?$, но проблема заключается в том, что бы найти формулу для $S_n$
 
+    \hypertarget{sumofseriesdefinition}{}
+    \hypertarget{seriesconvergence}{}
+
     \Def Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся,
     а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$
 
@@ -69,8 +74,12 @@
 
     $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = 1 = S = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)}$
 
+    \hypertarget{referenceseries}{}
+
     \Nota При исследовании на сходимость используются эталонные ряды
 
+    \hypertarget{geometricseries}{}
+
     \Ex Геометрический ряд (эталонный): \ \ $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$
 
     $S_n = \sum_{k = 0}^n b q^k = b (1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n) = b \frac{1 - q^n}{1 - q}$
@@ -148,6 +157,8 @@
 
     \Nota Докажем расходимость $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$
 
+    \hypertarget{harmonicsseries}{}
+
     \Exs Гармонический ряд (эталонный)
 
     $\sum_{n = 1}^\infty u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$
@@ -203,6 +214,8 @@
 
     \subsection{3. Условия сходимости рядов}
 
+    \hypertarget{necessarycondition}{}
+
     \subsubsection{3.1. Необходимое}
 
     \begin{MyTheorem}
@@ -225,6 +238,8 @@
 
     \subsubsection{3.2. Критерии (Необходимое и Достаточное условия)}
 
+    \hypertarget{cauchycriteria}{}
+
     \Mem Критерий Коши для последовательности: 
 
     $\{x_n\}$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ |x_m - x_n| < \varepsilon$

addchapters1/addchapters1_exam_list.tex

@@ -1,3 +1,5 @@
+\clearpage
+
 \section{X. Программа экзамена в 2024/2025}
 
 \begin{center}
@@ -6,8 +8,39 @@ \section{X. Программа экзамена в 2024/2025}
 
 \begin{enumerate}
     \item Определение числового ряда, понятие суммы ряда.
+
+    \hyperlink{numberseriesdefinition}{Определение числового ряда}: $\{u_1, u_2, \dots, u_n, \dots\} = \{u_n\}$ называется числовым рядом
+
+    $u_n$ называется общим членом ряда
+
+    \hyperlink{sumofseriesdefinition}{Понятие суммы ряда}: Частичная сумма ряда $S_n \stackrel{def}{=} \sum_{k = 1}^{n} u_k$
+
+    Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся,
+    а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$
+
     \item Сходимость числового ряда. Эталонные ряды: геометрический, гармонический.
+
+    \hyperlink{seriesconvergence}{Сходимость числового ряда}: Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся
+
+    \hyperlink{geometricseries}{Геометрический ряд}: $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ - сходится при $|q| < 1$, тогда $S = \frac{b}{1 - q}$
+
+    \hyperlink{harmonicseries}{Гармонический ряд}: $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ - расходится
+
     \item Условия сходимости рядов: необходимое условие, критерий Коши.
+
+    \hyperlink{necessarycondition}{Необходимое условие}: 
+
+    \begin{MyTheorem}
+        \Ths Если $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится, то верно, что $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
+    \end{MyTheorem}
+
+    \hyperlink{cauchycriteria}{Критерий Коши}:
+
+    \begin{MyTheorem}
+        $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ \underset{|S_m - S_n| < \varepsilon}{|u_{n + 1} + \dots + u_m|} < \varepsilon$
+    \end{MyTheorem}
+
+
     \item Знакоположительные числовые ряды, свойства.
     \item Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения.
     \item Признак Даламбера, радикальный признак Коши.

addchapters1/addchapters1_superconspect.tex

@@ -27,6 +27,8 @@
 
     \ExNs{2} $u_n = 1, -1, 1, -1, \dots$
 
+    \hypertarget{numberseriesdefinition}{}
+
     \Def $\{u_n\}$ - последовательность
 
     $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots$ называется числовым рядом
@@ -61,6 +63,9 @@
 
     $\lim_{n \to \infty} S_n = ?$, но проблема заключается в том, что бы найти формулу для $S_n$
 
+    \hypertarget{sumofseriesdefinition}{}
+    \hypertarget{seriesconvergence}{}
+
     \Def Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся,
     а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$
 
@@ -76,8 +81,12 @@
 
     $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = 1 = S = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)}$
 
+    \hypertarget{referenceseries}{}
+
     \Nota При исследовании на сходимость используются эталонные ряды
 
+    \hypertarget{geometricseries}{}
+
     \Ex Геометрический ряд (эталонный): \ \ $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$
 
     $S_n = \sum_{k = 0}^n b q^k = b (1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n) = b \frac{1 - q^n}{1 - q}$
@@ -155,6 +164,8 @@
 
     \Nota Докажем расходимость $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$
 
+    \hypertarget{harmonicsseries}{}
+
     \Exs Гармонический ряд (эталонный)
 
     $\sum_{n = 1}^\infty u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$
@@ -210,6 +221,8 @@
 
     \subsection{3. Условия сходимости рядов}
 
+    \hypertarget{necessarycondition}{}
+
     \subsubsection{3.1. Необходимое}
 
     \begin{MyTheorem}
@@ -232,6 +245,8 @@
 
     \subsubsection{3.2. Критерии (Необходимое и Достаточное условия)}
 
+    \hypertarget{cauchycriteria}{}
+
     \Mem Критерий Коши для последовательности: 
 
     $\{x_n\}$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ |x_m - x_n| < \varepsilon$
@@ -1329,6 +1344,8 @@ \subsubsection{4.3. Интеграл Фурье}
 % end <re.Match object; span=(69, 102), match='\nЛекции Далевской О. П.=Лекции Далевской О. П.'>
 
 % begin addchapters1_exam_list.tex
+\clearpage
+
 \section{X. Программа экзамена в 2024/2025}
 
 \begin{center}
@@ -1337,8 +1354,39 @@ \section{X. Программа экзамена в 2024/2025}
 
 \begin{enumerate}
     \item Определение числового ряда, понятие суммы ряда.
+
+    \hyperlink{numberseriesdefinition}{Определение числового ряда}: $\{u_1, u_2, \dots, u_n, \dots\} = \{u_n\}$ называется числовым рядом
+
+    $u_n$ называется общим членом ряда
+
+    \hyperlink{sumofseriesdefinition}{Понятие суммы ряда}: Частичная сумма ряда $S_n \stackrel{def}{=} \sum_{k = 1}^{n} u_k$
+
+    Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся,
+    а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$
+
     \item Сходимость числового ряда. Эталонные ряды: геометрический, гармонический.
+
+    \hyperlink{seriesconvergence}{Сходимость числового ряда}: Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся
+
+    \hyperlink{geometricseries}{Геометрический ряд}: $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ - сходится при $|q| < 1$, тогда $S = \frac{b}{1 - q}$
+
+    \hyperlink{harmonicseries}{Гармонический ряд}: $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ - расходится
+
     \item Условия сходимости рядов: необходимое условие, критерий Коши.
+
+    \hyperlink{necessarycondition}{Необходимое условие}: 
+
+    \begin{MyTheorem}
+        \Ths Если $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится, то верно, что $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
+    \end{MyTheorem}
+
+    \hyperlink{cauchycriteria}{Критерий Коши}:
+
+    \begin{MyTheorem}
+        $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ \underset{|S_m - S_n| < \varepsilon}{|u_{n + 1} + \dots + u_m|} < \varepsilon$
+    \end{MyTheorem}
+
+
     \item Знакоположительные числовые ряды, свойства.
     \item Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения.
     \item Признак Даламбера, радикальный признак Коши.