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% Allow footnotes in longtable head/foot
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\author{Sebastian Zabala}
\date{2024-02-27}
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\chapter*{Prólogo}\label{pruxf3logo}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Prólogo}
Este libro es una guía para la enseñanza del \textbf{análisis de regresión} por medio del modelo lineal múltiple aplicado con el lenguaje de programación R.
Este mismo libro ha sido escrito en \href{http://rmarkdown.rstudio.com}{R-Markdown} empleando el paquete \href{https://bookdown.org/yihui/bookdown/}{\texttt{bookdown}} y está disponible en mi repositorio \href{https://github.com/sebastianZabala/libro_RLM}{Github}:
Para generar el libro (compilar) puede ser recomendable instalar la última versión de \href{(https://www.rstudio.com/products/rstudio/download/)}{RStudio} y la versión de desarrollo de \texttt{bookdown} disponible en \href{https://github.com/rstudio/bookdown}{Github}.
Esta obra está bajo una licencia de \href{https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.es}{Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional}.
\begin{center}\includegraphics[width=9.79in]{imagen-2} \end{center}
\hypertarget{modelos-de-regresiuxf3n-lineal-muxfaltiple}{%
\chapter{Modelos de regresión lineal múltiple}\label{modelos-de-regresiuxf3n-lineal-muxfaltiple}}
\hypertarget{intro}{%
\section{Introducción}\label{intro}}
Muchas aplicaciones del análisis de regresión involucran situaciones donde se tiene más de una variable de regresión, los problemas que se presentan en el mundo actual no pueden ser explicados mediante una sola variable. Aquel modelo de regresión que contiene más de una variable independiente recibe el nombre de \textbf{Modelo de Regresión Múltiple}.
En general, la variable dependiente o respuesta (y) puede estar relacionada con k variables independientes o regresoras. El modelo
\[
\begin{equation}
y=\beta _{0} + \beta _{1}X _{1} + \beta _{2}X _{2} + ... + + \beta _{k}X _{k} + \varepsilon
\label{eq:rlm}
\end {equation}
\]
recibe el nombre de \textbf{modelo de regresión lineal múltiple con k variables de regresión}. Los parámetros \(\beta _{0}\) y \(\beta _{j}\) para j = 0, 1, \ldots{} , k, son parámetros desconocidos, \textbf{denominados coeficientes de regresión}.
\(\varepsilon\) denota el error, el cual puede ser debido a fluctuaciones aleatorias de la variable respuesta o por error en el modelo planteado.
\begin{center}\includegraphics[width=10.88in]{imagen-1} \end{center}
Frecuentemente los modelos de regresión lineal múltiple se emplean como funciones de aproximación. Esto es, se desconoce la verdadera relación funcional entre y y \(x_{1},x_{2},...,x_{k}\), pero sobre ciertos rangos de las variables independientes el modelo de regresión lineal constituye una aproximación adecuada.
Al construir una ecuación de predicción o regresion estimada que relacionara \(y\) con k variables predictoras. Desde luego que aparecen varias preguntas, al igual que con regresion lineal simple:
¿Que tan bien se ajusta el modelo?
¿Que tan fuerte es la relación entre y y las variables predictoras?
¿Se han violado suposiciones importantes?
¿Qué tan buenas son las estimaciones y predicciones?
Para contestar estas preguntas se pueden usar métodos de \textbf{análisis de regresión múltiple}, que casi siempre se hacen con un programa de cómputo, en nuestro caso, utilizando R. Este capítulo contiene una breve introducción al análisis de regresión múltiple y a la difícil tarea de construcción de
modelos, es decir, escoger el modelo correcto para una aplicación práctica.
Para mas información leerse la sección 13.1 del libro de \citet{mendenhall2010introduccion}
El siguiente bloque de código permite instalar y cargar los paquetes de R usados para implementar todos los conceptos de regresion lineal múltiple expuestos en este libro. Los cuales son los siguientes:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{packages }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}
\StringTok{\textquotesingle{}bookdown\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}knitr\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}rmarkdown\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}scatterplot3d\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}plotly\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}tidyverse\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}rgl\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}lmtest\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}car\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}psych\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}DT\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}broom\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}kableExtra\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}GGally\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}plot3D\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\StringTok{\textquotesingle{}plot3Drgl\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}equatiomatic\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}performance\textquotesingle{}}\NormalTok{,}\StringTok{\textquotesingle{}tinytex\textquotesingle{}}
\NormalTok{)}
\NormalTok{package.check }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{lapply}\NormalTok{(packages, }\AttributeTok{FUN =} \ControlFlowTok{function}\NormalTok{(x) \{}
\ControlFlowTok{if}\NormalTok{ (}\SpecialCharTok{!}\FunctionTok{require}\NormalTok{(x, }\AttributeTok{character.only =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)) \{}
\FunctionTok{install.packages}\NormalTok{(x, }\AttributeTok{dependencies =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(x, }\AttributeTok{character.only =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\NormalTok{ \}}
\NormalTok{\})}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\hypertarget{Estimacion-M.C.O.}{%
\section{Estimación de los parámetros de la ecuación de regresión por el método de mínimo cuadrado ordinario (M.C.O.)}\label{Estimacion-M.C.O.}}
El método de mínimos cuadrados ordinarios puede emplearse para estimar los coeficientes de regresión del modelo lineal múltiple de la ecuación anterior \eqref{eq:rlm}.
Supóngase que se tienen disponibles n \textgreater{} k observaciones y sea \(x_{ij}\) la i-ésima observación o nivel de la variable \(x_{j}\). Las observaciones son:
\[
\begin{equation}
(x_{i1},x_{i2}, ..., x_{ik}, y_{i}),\hspace{1.0cm} i = 1,2, ... , n \hspace{1.0cm}y\hspace{1.0cm} n > k
\end{equation}
\]
Se acostumbra presentar los datos de una regresión múltiple en una tabla tal, como sigue:
\$\$
\begin{equation}
\end{equation}
\$\$
Cada observación \((x_{i1}, x_{i2}x_{i3},...x_{ik}, y_{i})\) satisface el modelo, es decir:
\[
\begin{equation}
y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+ ... + \beta_{k}x_{ik}+\varepsilon_{i}
\label{eq:rlme}
\end{equation}
\]
\[
\begin{equation}
y_{i}=\beta_{0}+\sum_{j=1}^{k}\beta_{j}x_{ij} + \varepsilon_{i}\hspace{0.9cm} i=1,2,...,n
\end{equation}
\]
donde: \(y_i\) es la i-esima observación de ;a respuesta para un conjunto de valores \(x_{i1},x_{i2},..,x_{ik}\) de las variables de predicción, \(\varepsilon_{i}\) es el error aleatorio no observable asociado con \(y_{i}\) y \(\beta_{0},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{k}\) son \(p = k + 1\) parámetros lineales desconocidos.
Si supone el caso de la teoría basada en el modelo normal, las observaciones son variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas con:
\[
\begin{equation}
E(y_{i})=\beta_{0}+\beta_{1}x_{i1}+\beta_{2}x_{i2}+...+\beta_{k}x_{ik} \\
V(y_{i})= \sigma^2 \hspace{4cm}
i =1,2,..,n \\
\label{eq:modelo-normal-de-variables}
\end{equation}
\] De esta forma, los errores son variables aleatorias independientes, normalmente distribuidos con: \(E(\varepsilon_{i})= 0\) y \(V(\varepsilon_{i})= \sigma^2\)
Demostración:
La función de mínimos cuadrados ordinarios es:
\[
\begin{equation}
L=\sum_{i=1}^{n}\varepsilon_{i}^2
\end{equation}
\] donde
\(\varepsilon_{i}=y_{i}-\beta_{0}-\sum_{i=1}^{k}\beta_{j}x_{ij}\)
\[
\begin{equation}
L= \sum_{i=1}^n(y_i-\beta_{0}-\sum_{j}x_{ij})^2 //
\end{equation}
\]
Derivando L con respecto a \(\beta_{0},\beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{k}\) ,se tiene
\[
\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial \beta} \Bigg|_{\hat{\beta_{0}},\hat{\beta_{1}},...,\hat\beta_{k}}=-2\sum_{i=1}^n(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\sum_{j=1}^k\hat{\beta_{j}}x_{ij}) \\
y \\
\frac{\partial L}{\partial \beta} \Bigg|_{\hat{\beta_{0}},\hat{\beta_{1}},...,\hat\beta_{k}}=-2\sum_{i=1}^n(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\sum_{j=1}^k\hat{\beta_{j}}x_{ij})x_{ij} \hspace{5.0cm} j =1,2,..,k
\end{equation}
\]
Al igualar a cero a estas estimaciones de mínimos cuadrados, se obtiene:
\[
\begin{equation}
-2\sum_{i=1}^n(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\sum_{j=1}^k\hat{\beta_{j}}x_{ij})=0 \\
\frac{\partial L}{\partial \beta} \Bigg|_{\hat{\beta_{0}},\hat{\beta_{1}},...,\hat\beta_{k}}=-2\sum_{i=1}^n(y_{i}-\hat{\beta_{0}}-\sum_{j=1}^k\hat{\beta_{j}}x_{ij})x_{ij}=0 \hspace{5.0cm} j =1,2,..,k
\end{equation}
\]
Después de simplificar las ecuaciones anteriores, se obtienen las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ordinarios.
\[
\begin{equation}
\begin{matrix}
n\hat{\beta_{0}} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{i1} + \hat{\beta_{2}}\sum_{i=1}^nx_{i2} + \ldots + \hat{\beta_{k}}\sum_{i=1}^nx_{ik} = \sum_{i=1}^ny_i \\
\hat{\beta_{0}}\sum_{i=1}^nx_{i1} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{i1}^2 + \hat{\beta_{2}}\sum_{i=1}^nx_{i1}x_{i2} + \ldots + \hat{\beta_{k}}\sum_{i=1}^nx_{i1}x_{ik} = \sum_{i=1}^nx_{i1}y_i \\
\vdots \quad \vdots \quad \vdots \quad \vdots \quad \vdots \\
\hat{\beta_{0}}\sum_{i=1}^nx_{ik} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{ik}x_{i1} + \hat{\beta_{2}}\sum_{i=1}^nx_{ik}x_{i2} + \ldots + \hat{\beta_{k}}\sum_{i=1}^nx_{ik}^2 = \sum_{i=1}^nx_{ik}y_i
\end{matrix}
\end{equation}
\]
Nótese que existen \(p = k +1\) ecuaciones normales, una para cada coeficiente de regresion desconocido. La solución de las ecuaciones normales son los estimadores mínimos cuadrados de los coeficientes de regresion \(\hat{\beta_{0}},\hat{\beta_{1}},...,\hat{\beta_{k}}\). La solución de las ecuaciones normales puede obtenerse con cualquier método apropiado para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
\hypertarget{ejemplo}{%
\chapter*{Ejemplo}\label{ejemplo}}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Ejemplo}
Como ilustración vamos a usar los datos del ejemplo del libro \citet{webster2000estadistica} .La gerencia de Hop Scotch Airlines, la aerolínea transportadora mas pequeña del mundo, considera que existe una relación directa entre los gastos publicitarios, el ingreso nacional y el numero de pasajeros que escogen viajar por Hop Scotch. Por determinar so esta relación existe, y si es así cual podría ser la naturaleza exacta, los estadísticos empleados por Hop Scotch decidieron utilizar los procedimientos MCO para determinar el modelo de regresion múltiple.
Se recolectaron los valores mensuales por gastos de publicidad, el ingreso nacional y el numero de pasajeros para los n = 15 meses mas recientes. Los datos aparecen en la tabla \ref{tab:defdatos} ,junto con otros cálculos necesarios para hallar el modelo de regresion. Se observara que los pasajeros están representados con la variable Y, ya que se asume que depende de la publicidad y el ingreso nacional.
Los datos del ejemplo los pasamos a código para poder trabajar con ellos. A continuación el código para cargar los datos y mostrarlos utilizando el paquete \texttt{kableExtra}, en total se disponen de 15 observaciones.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definición de las variables de estudio y creación del dataframe}
\NormalTok{observaciones }\OtherTok{\textless{}{-}} \DecValTok{1}\SpecialCharTok{:}\DecValTok{15}
\NormalTok{pasajeros }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{15}\NormalTok{,}\DecValTok{17}\NormalTok{,}\DecValTok{13}\NormalTok{,}\DecValTok{23}\NormalTok{,}\DecValTok{16}\NormalTok{,}\DecValTok{21}\NormalTok{,}\DecValTok{14}\NormalTok{,}\DecValTok{20}\NormalTok{,}\DecValTok{24}\NormalTok{,}\DecValTok{17}\NormalTok{,}\DecValTok{16}\NormalTok{,}\DecValTok{18}\NormalTok{,}\DecValTok{23}\NormalTok{,}\DecValTok{25}\NormalTok{,}\DecValTok{16}\NormalTok{)}
\NormalTok{publicidad }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\DecValTok{10}\NormalTok{,}\DecValTok{12}\NormalTok{,}\DecValTok{8}\NormalTok{,}\DecValTok{17}\NormalTok{,}\DecValTok{10}\NormalTok{,}\DecValTok{15}\NormalTok{,}\DecValTok{10}\NormalTok{,}\DecValTok{14}\NormalTok{,}\DecValTok{19}\NormalTok{,}\DecValTok{10}\NormalTok{,}\DecValTok{11}\NormalTok{,}\DecValTok{13}\NormalTok{,}\DecValTok{16}\NormalTok{,}\DecValTok{10}\NormalTok{,}\DecValTok{12}\NormalTok{)}
\NormalTok{ingreso\_nacional }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\FloatTok{2.4}\NormalTok{,}\FloatTok{2.72}\NormalTok{,}\FloatTok{2.08}\NormalTok{,}\FloatTok{3.68}\NormalTok{,}\FloatTok{2.56}\NormalTok{,}\FloatTok{3.36}\NormalTok{,}\FloatTok{2.24}\NormalTok{,}\FloatTok{3.2}\NormalTok{,}\FloatTok{3.84}\NormalTok{,}\FloatTok{2.72}\NormalTok{,}\FloatTok{2.07}\NormalTok{,}\FloatTok{2.33}\NormalTok{,}\FloatTok{2.98}\NormalTok{,}\FloatTok{1.94}\NormalTok{,}\FloatTok{2.17}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Creación del dataframe}
\NormalTok{datos }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{data.frame}\NormalTok{(pasajeros,publicidad,ingreso\_nacional)}
\FunctionTok{colnames}\NormalTok{(datos) }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"Pasajeros"}\NormalTok{, }\StringTok{"Publicidad"}\NormalTok{, }\StringTok{"Ingreso Nacional"}\NormalTok{)}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(kableExtra)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Warning: package 'kableExtra' was built under R version 4.3.2
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\NormalTok{knitr}\SpecialCharTok{::}\FunctionTok{kable}\NormalTok{(}\FunctionTok{cbind}\NormalTok{(}\AttributeTok{Observaciones =}\NormalTok{ observaciones,datos),}\AttributeTok{booktabs =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{, }\AttributeTok{align =} \StringTok{"c"}\NormalTok{, }\AttributeTok{caption =} \StringTok{"Tabla con los datos de la regresion multiple para Hop Scotch Airlines"}\NormalTok{ ) }
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{table}
\caption{\label{tab:defdatos}Tabla con los datos de la regresion multiple para Hop Scotch Airlines}
\centering
\begin{tabular}[t]{cccc}
\toprule
Observaciones & Pasajeros & Publicidad & Ingreso Nacional\\
\midrule
1 & 15 & 10 & 2.40\\
2 & 17 & 12 & 2.72\\
3 & 13 & 8 & 2.08\\
4 & 23 & 17 & 3.68\\
5 & 16 & 10 & 2.56\\
\addlinespace
6 & 21 & 15 & 3.36\\
7 & 14 & 10 & 2.24\\
8 & 20 & 14 & 3.20\\
9 & 24 & 19 & 3.84\\
10 & 17 & 10 & 2.72\\
\addlinespace
11 & 16 & 11 & 2.07\\
12 & 18 & 13 & 2.33\\
13 & 23 & 16 & 2.98\\
14 & 25 & 10 & 1.94\\
15 & 16 & 12 & 2.17\\
\bottomrule
\end{tabular}
\end{table}
Un gráfico en 3d es obligatorio para explorar la relación entre las variables, este diagrama de puede obtener usando el paquete \texttt{scatterplot3d}. A continuación el código para construirlo.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(scatterplot3d)}
\CommentTok{\#Se crea un gráfico en 3D para explorar la relación entre las variables}
\FunctionTok{scatterplot3d}\NormalTok{(}\AttributeTok{x=}\NormalTok{publicidad, }\AttributeTok{y=}\NormalTok{ingreso\_nacional, }\AttributeTok{z=}\NormalTok{pasajeros, }\AttributeTok{pch=}\DecValTok{16}\NormalTok{, }\AttributeTok{cex.lab=}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
\AttributeTok{highlight.3d=}\ConstantTok{TRUE}\NormalTok{, }\AttributeTok{type=}\StringTok{"h"}\NormalTok{, }\AttributeTok{xlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Publicidad (en miles de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{,}
\AttributeTok{ylab=}\StringTok{\textquotesingle{}Ingreso nacional (en billones de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\AttributeTok{zlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Pasajeros (en miles)\textquotesingle{}}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{_main_files/figure-latex/explorscatter-1.pdf}
\caption{\label{fig:explorscatter}Grafico de dispersion 3D entre las variables con scatterplot3d}
\end{figure}
De la figura anterior \ref{fig:explorscatter} se ve claramente que a medida que aumenta el gasto en publicidad y aumenta el ingreso nacional se tienden a aumentar el numero de pasajeros en miles.
El mismo diagrama de dispersión se puede crear usando el paquete \texttt{plotly}. El cual permite al lector muchas mas posibilidades con el diagrama como moverlo, acercarlo, etc.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(plotly)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Warning: package 'plotly' was built under R version 4.3.2
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## Loading required package: ggplot2
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
##
## Attaching package: 'plotly'
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
##
## last_plot
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## The following object is masked from 'package:stats':
##
## filter
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## layout
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{plot\_ly}\NormalTok{(}\AttributeTok{x=}\NormalTok{publicidad, }\AttributeTok{y=}\NormalTok{ingreso\_nacional, }\AttributeTok{z=}\NormalTok{pasajeros, }\AttributeTok{type=}\StringTok{"scatter3d"}\NormalTok{, }\AttributeTok{color=}\NormalTok{pasajeros) }\SpecialCharTok{\%\textgreater{}\%}
\FunctionTok{layout}\NormalTok{(}\AttributeTok{scene =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{xaxis =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{title =} \StringTok{\textquotesingle{}Publicidad (en miles de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{),}
\AttributeTok{yaxis =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{title =} \StringTok{\textquotesingle{}Ingreso nacional (en billones de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{),}
\AttributeTok{zaxis =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{title =} \StringTok{\textquotesingle{}Pasajeros (en miles)\textquotesingle{}}\NormalTok{)))}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## PhantomJS not found. You can install it with webshot::install_phantomjs(). If it is installed, please make sure the phantomjs executable can be found via the PATH variable.
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## No scatter3d mode specifed:
## Setting the mode to markers
## Read more about this attribute -> https://plotly.com/r/reference/#scatter-mode
\end{verbatim}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{_main_files/figure-latex/explorplotly-1.pdf}
\caption{\label{fig:explorplotly}Grafico de dispersion 3D entre las variables con plotly}
\end{figure}
Otro gráfico de dispersión en 3d se puede construir usando el paquete \texttt{rgl}. A continuación está el código para obtener el diagrama de dispersión.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(rgl)}
\FunctionTok{plot3d}\NormalTok{(}\AttributeTok{x=}\NormalTok{publicidad, }\AttributeTok{y=}\NormalTok{ingreso\_nacional, }\AttributeTok{z=}\NormalTok{pasajeros, }\AttributeTok{type=}\StringTok{\textquotesingle{}s\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\AttributeTok{col=}\StringTok{\textquotesingle{}green\textquotesingle{}}\NormalTok{,}
\AttributeTok{xlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Publicidad (en miles de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{,}
\AttributeTok{ylab=}\StringTok{\textquotesingle{}Ingreso nacional (en billones de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{,}
\AttributeTok{zlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Pasajeros (en miles)\textquotesingle{}}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
También se puede analizar la relación de las variables observando los gráficos de dispersión entre las variables. Lo cual se hace en R de la siguiente manera:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(psych)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Warning: package 'psych' was built under R version 4.3.2
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
##
## Attaching package: 'psych'
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## The following objects are masked from 'package:ggplot2':
##
## %+%, alpha
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{multi.hist}\NormalTok{(}\AttributeTok{x =}\NormalTok{ datos, }\AttributeTok{dcol =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"blue"}\NormalTok{, }\StringTok{"red"}\NormalTok{), }\AttributeTok{dlty =} \FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"dotted"}\NormalTok{, }\StringTok{"solid"}\NormalTok{),}
\AttributeTok{main =} \StringTok{""}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{_main_files/figure-latex/multihist-1.pdf}
\caption{\label{fig:multihist}Histograma multiple con psych}
\end{figure}
Otros paquetes permiten representar a la vez los diagramas de dispersión, los valores de correlación para cada par de variables y la distribución de cada una de las variables.
\hypertarget{matriz-de-correlaciuxf3n}{%
\subsection{Matriz de correlación}\label{matriz-de-correlaciuxf3n}}
Para calcular dicha correlación, se emplea el siguiente código:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{round}\NormalTok{(}\FunctionTok{cor}\NormalTok{(datos), }\DecValTok{3}\NormalTok{) }\CommentTok{\# Matriz de correlación redondeada a 3 decimales}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Pasajeros Publicidad Ingreso Nacional
## Pasajeros 1.000 0.735 0.592
## Publicidad 0.735 1.000 0.870
## Ingreso Nacional 0.592 0.870 1.000
\end{verbatim}
\hypertarget{matriz-de-dispersiuxf3n}{%
\subsection{Matriz de dispersión}\label{matriz-de-dispersiuxf3n}}
Esta matriz es una herramienta de exploración de datos que permite comparar varios subconjuntos de la base de datos para buscar patrones y relaciones. Se obtiene así:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{pairs}\NormalTok{(datos, }\AttributeTok{labels=}\FunctionTok{c}\NormalTok{(}\StringTok{"y"}\NormalTok{,}\StringTok{"x1"}\NormalTok{,}\StringTok{"x2"}\NormalTok{), }\AttributeTok{main=}\StringTok{\textquotesingle{}Matriz de dispersión\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\AttributeTok{cex.main=}\FloatTok{0.8}\NormalTok{, }\AttributeTok{cex =} \FloatTok{1.5}\NormalTok{, }\AttributeTok{pch =} \DecValTok{20}\NormalTok{, }\AttributeTok{bg=}\StringTok{"light blue"}\NormalTok{, }\AttributeTok{cex.labels =} \DecValTok{1}\NormalTok{, }\AttributeTok{font.labels=}\DecValTok{1}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\includegraphics{_main_files/figure-latex/mtdisp-1.pdf}
\hypertarget{matriz-de-dispersiuxf3n-con-correlaciones}{%
\subsection{Matriz de dispersión con correlaciones}\label{matriz-de-dispersiuxf3n-con-correlaciones}}
Esta matriz también sirve para explorar los datos al comparar varios subconjuntos de la base de datos, pero adiciona la correlación entre cada uno de los subconjuntos. Para obtenerla con R se utilizo el paquete \texttt{GGally} que ayuda a hacer este tipo de gráficos.
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(GGally)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Warning: package 'GGally' was built under R version 4.3.2
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## Registered S3 method overwritten by 'GGally':
## method from
## +.gg ggplot2
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{ggpairs}\NormalTok{(datos, }\AttributeTok{lower =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{continuous =} \StringTok{"smooth"}\NormalTok{),}
\AttributeTok{diag =} \FunctionTok{list}\NormalTok{(}\AttributeTok{continuous =} \StringTok{"barDiag"}\NormalTok{), }\AttributeTok{axisLabels =} \StringTok{"none"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick
## better value with `binwidth`.
\end{verbatim}
\begin{verbatim}
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick
## better value with `binwidth`.
## `stat_bin()` using `bins = 30`. Pick
## better value with `binwidth`.
\end{verbatim}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{_main_files/figure-latex/explorvar-1.pdf}
\caption{\label{fig:explorvar}Matriz de dispersión con correlaciones con GGally}
\end{figure}
Basándonos en el diagrama de dispersión 3d de la \ref{fig:explorscatter},\ref{fig:explorplotly} y los gráficos observados de correlación y dispersión de \ref{fig:explorvar}, el modelo que se va a ajustar se muestra a continuación:
\[
\begin{equation}
Pasajeros \sim N(\mu_{i},\sigma^{2}),\\
\mu_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}Publicidad_{i} + \beta_{2}Ingreso_{i},\\
\sigma^{2} = constante
\end{equation}
\]
Así se crea el modelo de regresión múltiple ajustado en R:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(broom)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Warning: package 'broom' was built under R version 4.3.2
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Ajustar un modelo de regresión lineal múltiple}
\NormalTok{modelo }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{lm}\NormalTok{(pasajeros }\SpecialCharTok{\textasciitilde{}}\NormalTok{ publicidad }\SpecialCharTok{+}\NormalTok{ ingreso\_nacional, }\AttributeTok{data =}\NormalTok{ datos)}
\CommentTok{\# Utilizar el paquete broom para obtener resúmenes y estadísticas del modelo}
\FunctionTok{summary}\NormalTok{(modelo)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
##
## Call:
## lm(formula = pasajeros ~ publicidad + ingreso_nacional, data = datos)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -2.6489 -1.4443 -0.3563 0.5748 8.2848
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 8.0153 3.3996 2.358 0.0362 *
## publicidad 1.1078 0.4827 2.295 0.0406 *
## ingreso_nacional -1.2258 2.5037 -0.490 0.6332
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.795 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.5487, Adjusted R-squared: 0.4735
## F-statistic: 7.296 on 2 and 12 DF, p-value: 0.008445
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{tidy}\NormalTok{(modelo)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## # A tibble: 3 x 5
## term estimate std.error statistic p.value
## <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 (Intercept) 8.02 3.40 2.36 0.0362
## 2 publicidad 1.11 0.483 2.29 0.0406
## 3 ingreso_nacional -1.23 2.50 -0.490 0.633
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{glance}\NormalTok{(modelo)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## # A tibble: 1 x 12
## r.squared adj.r.squared sigma statistic p.value df logLik AIC BIC
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 0.549 0.474 2.79 7.30 0.00845 2 -35.0 78.1 80.9
## # i 3 more variables: deviance <dbl>, df.residual <int>, nobs <int>
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{augment}\NormalTok{(modelo)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## # A tibble: 15 x 9
## pasajeros publicidad ingreso_nacional .fitted .resid .hat .sigma .cooksd
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 15 10 2.4 16.2 -1.15 0.124 2.90 0.00913
## 2 17 12 2.72 18.0 -0.975 0.0784 2.90 0.00374
## 3 13 8 2.08 14.3 -1.33 0.228 2.88 0.0288
## 4 23 17 3.68 22.3 0.663 0.260 2.91 0.00889
## 5 16 10 2.56 16.0 0.0448 0.177 2.92 0.0000224
## 6 21 15 3.36 20.5 0.486 0.163 2.91 0.00235
## 7 14 10 2.24 16.3 -2.35 0.112 2.82 0.0333
## 8 20 14 3.2 19.6 0.398 0.137 2.92 0.00124
## 9 24 19 3.84 24.4 -0.356 0.379 2.92 0.00533
## 10 17 10 2.72 15.8 1.24 0.272 2.89 0.0336
## 11 16 11 2.07 17.7 -1.66 0.192 2.87 0.0348
## 12 18 13 2.33 19.6 -1.56 0.228 2.87 0.0397
## 13 23 16 2.98 22.1 0.913 0.229 2.90 0.0137
## 14 25 10 1.94 16.7 8.28 0.199 0.853 0.912
## 15 16 12 2.17 18.6 -2.65 0.222 2.78 0.110
## # i 1 more variable: .std.resid <dbl>
\end{verbatim}
Ya por defecto la función \texttt{summary} presenta el análisis de varianza (ANOVA) por defecto. Si nosotros quisiéramos solamente esa tabla se haría de la siguiente forma:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Realizar el análisis de varianza}
\NormalTok{tabla\_anova }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{anova}\NormalTok{(modelo)}
\NormalTok{tabla\_anova}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Analysis of Variance Table
##
## Response: pasajeros
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## publicidad 1 112.117 112.117 14.3518 0.002584 **
## ingreso_nacional 1 1.873 1.873 0.2397 0.633245
## Residuals 12 93.744 7.812
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
\end{verbatim}
Con los resultados obtenidos en el Chunk \ref{crearlm}, se puede expresar el modelo ajustado como se muestra a continuación:
\[
\begin{equation}
\widehat{Tiempo_{i}} \sim N(\hat{\mu_{i}},\hat{\sigma}^{2}),
\hat{\mu_{i}} = 8.0153 + 1.1078Publicidad_{i} - 1.2258Ingreso_{i},
\hat{\sigma}=2.795
\end{equation}
\] Para incluir el plano de regresión que representa el modelo ajustado anterior se puede usar el siguiente código:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Se crea el gráfico 3d y se guarda en un objeto}
\FunctionTok{library}\NormalTok{(scatterplot3d)}
\NormalTok{mi\_modelo\_3d }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{scatterplot3d}\NormalTok{(}\AttributeTok{x=}\NormalTok{publicidad, }\AttributeTok{y=}\NormalTok{ingreso\_nacional, }\AttributeTok{z=}\NormalTok{pasajeros, }\AttributeTok{pch=}\DecValTok{16}\NormalTok{, }\AttributeTok{cex.lab=}\DecValTok{1}\NormalTok{,}
\AttributeTok{highlight.3d=}\ConstantTok{TRUE}\NormalTok{, }\AttributeTok{type=}\StringTok{"h"}\NormalTok{, }\AttributeTok{xlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Publicidad (en miles de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{,}
\AttributeTok{ylab=}\StringTok{\textquotesingle{}Ingreso nacional (en billones de dolares)\textquotesingle{}}\NormalTok{, }\AttributeTok{zlab=}\StringTok{\textquotesingle{}Pasajeros (en miles)\textquotesingle{}}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Para agregar el plano usamos $plane3d( ) con argumento modelo ajustado}
\NormalTok{mi\_modelo\_3d}\SpecialCharTok{$}\FunctionTok{plane3d}\NormalTok{(modelo, }\AttributeTok{lty.box=}\StringTok{"solid"}\NormalTok{, }\AttributeTok{col=}\StringTok{\textquotesingle{}mediumblue\textquotesingle{}}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\includegraphics{_main_files/figure-latex/unnamed-chunk-9-1.pdf}
\textbf{Solución}:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Número total de observaciones}
\NormalTok{num\_observaciones }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{nrow}\NormalTok{(datos)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la variable dependiente (Y)}
\NormalTok{sum\_y }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pasajeros)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la variable dependiente al cuadrado (Y)}
\NormalTok{sum\_y\_squared }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pasajeros}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la primera variable independiente (X1: Publicidad)}
\NormalTok{sum\_x1 }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Publicidad)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la segunda variable independiente (X2: Ingreso Nacional)}
\NormalTok{sum\_x2 }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\StringTok{\textasciigrave{}}\AttributeTok{Ingreso Nacional}\StringTok{\textasciigrave{}}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de los cuadrados de la primera variable independiente (X1\^{}2)}
\NormalTok{sum\_x1\_squared }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Publicidad}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de los cuadrados de la segunda variable independiente (X1\^{}2)}
\NormalTok{sum\_x2\_squared }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\StringTok{\textasciigrave{}}\AttributeTok{Ingreso Nacional}\StringTok{\textasciigrave{}}\SpecialCharTok{\^{}}\DecValTok{2}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la multiplicación entre X1 y X2}
\NormalTok{sum\_x1\_x2 }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Publicidad }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ datos}\SpecialCharTok{$}\StringTok{\textasciigrave{}}\AttributeTok{Ingreso Nacional}\StringTok{\textasciigrave{}}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la multiplicación entre X1 y Y}
\NormalTok{sum\_x1\_y }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Publicidad }\SpecialCharTok{*}\NormalTok{ datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pasajeros)}
\CommentTok{\# Sumatoria de la columna de la multiplicación entre X2 y Y}
\NormalTok{sum\_x2\_y }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{sum}\NormalTok{(datos}\SpecialCharTok{$}\StringTok{\textasciigrave{}}\AttributeTok{Ingreso Nacional}\StringTok{\textasciigrave{}} \SpecialCharTok{*}\NormalTok{ datos}\SpecialCharTok{$}\NormalTok{Pasajeros)}
\CommentTok{\# Imprimir los resultados}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Numero total de observaciones:"}\NormalTok{, num\_observaciones, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Numero total de observaciones: 15
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de Y:"}\NormalTok{, sum\_y, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de Y: 278
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de Y al cuadrado:"}\NormalTok{, sum\_y\_squared, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de Y al cuadrado: 5360
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X1:"}\NormalTok{, sum\_x1, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X1: 187
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X2:"}\NormalTok{, sum\_x2, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X2: 40.29
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X1\^{}2:"}\NormalTok{, sum\_x1\_squared, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X1^2: 2469
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X2\^{}2:"}\NormalTok{, sum\_x2\_squared, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X2^2: 113.3387
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X1 * X2:"}\NormalTok{, sum\_x1\_x2, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X1 * X2: 525.38
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X1 * Y:"}\NormalTok{, sum\_x1\_y, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X1 * Y: 3590
\end{verbatim}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Sumatoria de la columna de X2 * Y:"}\NormalTok{, sum\_x2\_y, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Sumatoria de la columna de X2 * Y: 766.02
\end{verbatim}
\[
n\hat{\beta_{0}} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{i1} + \hat{\beta_{i2}}\sum_{i=1}^nx_{i2} = \sum_{i=1}^ny_{i} \\
\hat{\beta_{0}}\sum_{i=1}^nx_{i1} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{i1}^2 + \hat{\beta_{i2}}\sum_{i=1}^nx_{i1}x_{i2} = \sum_{i=1}^nx_{i1}y_{i} \\
\hat{\beta_{0}}\sum_{i=1}^nx_{i2} + \hat{\beta_{1}}\sum_{i=1}^nx_{i1}x_{i2} + \hat{\beta_{i2}}\sum_{i=1}^nx_{i2}^2 = \sum_{i=1}^nx_{i2}y_{i}
\]
Al sustituir las sumatorias calculadas en las ecuaciones normales, se tiene que:
\[
15\hat{\beta_{0}} + 187\hat{\beta_{1}} + 40.29\hat{\beta_{i2}} = 278 \\
187\hat{\beta_{0}} + 2469\hat{\beta_{1}} + 525.38\hat{\beta_{i2}} = 3590 \\
40.29\hat{\beta_{0}} + 525.38\hat{\beta_{1}} + 113.3387\hat{\beta_{i2}} = 766.02
\] La solución de este conjunto de ecuaciones es:
\[
\hat{\beta_{0}}= 8.015345 \\
\hat{\beta_{1}}= 1.107798 \\
\hat{\beta_{2}}= -1.225824 \\
\label{eq:coefs-beta-valores-estimados}
\] Lo cual se hace con R de la siguiente manera:
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\# Definir la matriz de coeficientes (lado izquierdo del sistema)}
\NormalTok{n }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{length}\NormalTok{(pasajeros)}
\NormalTok{A }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{matrix}\NormalTok{(}\FunctionTok{c}\NormalTok{(n, sum\_x1, sum\_x2, sum\_x1, sum\_x1\_squared, sum\_x1\_x2, sum\_x2, sum\_x1\_x2, sum\_x2\_squared), }\AttributeTok{ncol =} \DecValTok{3}\NormalTok{)}
\CommentTok{\# Definir el vector del lado derecho del sistema}
\NormalTok{B }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{c}\NormalTok{(sum\_y, sum\_x1\_y, sum\_x2\_y)}
\CommentTok{\# Resolver el sistema de ecuaciones lineales}
\NormalTok{coefs\_beta }\OtherTok{\textless{}{-}} \FunctionTok{solve}\NormalTok{(A, B)}
\CommentTok{\# Imprimir los coeficientes estimados}
\FunctionTok{cat}\NormalTok{(}\StringTok{"Coeficientes estimados (beta0, beta1, beta2):"}\NormalTok{, coefs\_beta, }\StringTok{"}\SpecialCharTok{\textbackslash{}n}\StringTok{"}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{verbatim}
## Coeficientes estimados (beta0, beta1, beta2): 8.015345 1.107798 -1.225824
\end{verbatim}
Por lo tanto, la ecuación de regresión ajustada es:
\[
\begin{equation}
\hat{Y} = 8.0153 + 1.1078x_{1} - 1.2258x_{2}
\end{equation}
\]
Como se puede observar de ambas maneras se llega al mismo resultado (ya que internamente la función \texttt{lm()} realiza eso). Finalmente, esta ecuación puede emplearse para predecir el numero de pasajeros para pares de valores de las variables de regresion, publicidad e ingreso nacional.
Otra forma de obtener las ecuacion del modelo de regresion múltiple en formato latex y html es utilizando el paquete \texttt{equationmatic}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\FunctionTok{library}\NormalTok{(equatiomatic)}
\CommentTok{\#Devuelve la ecuación del modelo ajustada}
\FunctionTok{extract\_eq}\NormalTok{(modelo)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{equation}
\operatorname{pasajeros} = \alpha + \beta_{1}(\operatorname{publicidad}) + \beta_{2}(\operatorname{ingreso\_nacional}) + \epsilon
\end{equation}
\begin{Shaded}
\begin{Highlighting}[]
\CommentTok{\#Devolver coeficientes numéricos reales en lugar de letras griegas con:use\_coefs = TRUE}
\FunctionTok{extract\_eq}\NormalTok{(modelo, }\AttributeTok{use\_coefs =} \ConstantTok{TRUE}\NormalTok{)}
\end{Highlighting}
\end{Shaded}
\begin{equation}
\operatorname{\widehat{pasajeros}} = 8.02 + 1.11(\operatorname{publicidad}) - 1.23(\operatorname{ingreso\_nacional})
\end{equation}
\hypertarget{Enfoque-matricial}{%
\section{Enfoque matricial para un modelo de regresión lineal múltiple}\label{Enfoque-matricial}}
Al ajustar un modelo de regresión lineal múltiple es mucho mas conveniente expresar las operaciones matemáticas en forma matricial, ya que simplifica en gran medida la presentación.
Dada una muestra aleatoria de observaciones \(Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}\) en los puntos de observación \(x_{11},x_{12},...,x_{1k},x_{21},x_{22},...,x_{2k},...,x_{n1},x_{n2},...,x_{nk}\), respectivamente, con base en el modelo lineal general, se tienen las n ecuaciones siguientes:
\[ \begin{equation}
Y_{1}=\beta _{0} + \beta _{1}X _{11} + \beta _{2}X _{12} + ... + + \beta _{k}X _{1k} + \varepsilon_{1} \\
Y_{2}=\beta _{0} + \beta _{1}X _{21} + \beta _{2}X _{22} + ... + + \beta _{k}X _{2k} + \varepsilon_{2} \\
\vdots \\
Y_{n}=\beta _{0} + \beta _{1}X _{n1} + \beta _{2}X _{n2} + ... + + \beta _{k}X _{nk} + \varepsilon_{n}
\end{equation}
\]
Como resultado, el modelo lineal múltiple también puede expresarse en forma matricial como:
\[
\begin{equation}
Y = \boldsymbol{X\beta+\varepsilon}
\end{equation}
\label{eq:mrlmm}
\]
donde:
\[
\begin{equation}
\mathbf{Y} = \begin{bmatrix}
Y_{1}\\
Y_{2}\\
\vdots \\
Y_{n}
\end{bmatrix}_{nx1}
\mathbf{X} =\begin{bmatrix}
1& X_{11}& X_{12}& \cdots & X_{1k}\\
1& X_{12}& X_{22}& \cdots& X_{2k}\\
\vdots & \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\
1& X_{n1}& X_{n2}& \cdots& X_{nk}
\end{bmatrix}_{nxp}
\boldsymbol{\beta } = \begin{bmatrix}
\beta_{1}\\
\beta_{2}\\
\vdots \\
\beta_{n}
\end{bmatrix}_{px1}
\boldsymbol{\varepsilon } = \begin{bmatrix}