[A/L] (2021/22) Relazioni - Esercizio 2

[matypist]

[LuginiAndrea]

Ragioniamo sulle proprietè delle relazioni di equivalenza.
Dobbiamo dimostrare che

• $\forall a \in A , aRa$
• $\forall a,b \in A , aRb \Longrightarrow bRa$
• $\forall a, b, c \in A , aRb \wedge bRc \Longrightarrow aRc$

Queste proprietà sono rispettate da $R_1$ ed $R_2$
Verifichiamo se R rispetta queste proprietà:

• Riflessività: sappiamo che $aR_1a$ e $aR_2a$, ne consegue che $aRa$
• Simmetria: sappiamo che se $aR_1b$ allora $bR_1a$, e che se $aR_2b$ allora $bR_2a$, quindi $aR_1b \wedge aR_2b \Longrightarrow bR_1a \wedge bR_2a \Longrightarrow aRb \wedge bRa$
• Transitività: sappiamo che $aR_1b \wedge bR_1c \Longrightarrow aR_1c$, idem per $R_2$, ne segue che
  $\left(aR_1b \wedge aR_2b\right) \wedge \left(bR_1c \wedge bR_2c\right) \Longrightarrow aRb, bRc, \left(aR_1c \wedge aR_2c\right) \Longrightarrow aRb, bRc, aRc$

$R$ è una relazione d'equivalenza

[Exyss]

Per comodità di lettura, denotiamo $R$ come $\sim$, $R_1$ come $\sim_1$ e $R_2$ come $\sim_2$

Riflessività ✔️

$a \in A \implies a \sim_1 a, a \sim_2 a \implies a \sim a$

Simmetria ✔️

$a \sim b \iff a \sim_1 b \land a \sim_2 b \iff b \sim_1 a \land b \sim_2 a \iff b \sim a$

Transitività ✔️

$a \sim b \land b \sim c \iff a \sim_1 b \land b \sim_1 c \land a \sim_2 b \land b \sim_2 c \iff a \sim_1 c \land a \sim_2 c \iff a \sim c$