[A/L] (2021/22) Funzioni - Esercizio 25

[matypist]

[matypist]

1. F perché f non può essere iniettiva
2. V
3. V

Postato originariamente da @i0nut02 su https://github.com/sapienzastudentsnetwork/mmi2122/issues/171

[LuginiAndrea]

La prima è falsa.
$f$ non può essere iniettiva in quanto # $B$ < # $A$

La seconda è vera. In quanto $\exists x_1, x_2 \in A$ t.c. $x_1 \neq x_2, f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right) \Longrightarrow b \in B$ t.c. $b = f\left(x_1\right) = f\left(x_2\right)$ provando quindi che $g$ non può essere invertibile in quanto $g\left(b\right)$ dovrebbe essere al contempo uguale a $x_1$ ed a $x_2$

La terza è vera: Riferirsi all'esercizio 24

[TheNewHEROBRINEX]

Secondo me la prima è vera, in accordo con la tavola di verità dell'operatore se ... allora ...
In quanto se l'antecedente è falso allora la proposizione è vera indipendentemente dal valore del conseguente.

[Elia-Belli]

• La (1) può essere ambigua, per me è vera e ne do una mia intepretazione: possiamo riscrivere la frase sostituendo al costrutto "se allora" un'espressione equivalente, ovvero "L'iniettività di f e g è condizione sufficiente per l'iniettività di (g o f)", per la Caratterizzazione dell'Iniettività quest'affermazione è vera. Ovviamente f non è iniettiva e quindi dire (g o f) iniettiva è sbagliato, ma l'affermazione che ci viene presentata è vera (nella consegna è chiesto di determinare se le affermazioni sono corrette).
• La (2) è vera: a causa della cardinalità, f è costretta ad associare almeno 2 elementi distinti in A allo stesso elemento in B, di conseguenza g non può restituire entrambe le preimmagini ma solo una (altrimenti non sarebbe una funzione), quindi è impossibile che (g o f) sia l'identità su A.
• La (3) è vera: ovvia, sia che g agisca su B che sull'immagine di f contenuta in B, tutti gli elementi vengono sempre trasformati in 1.