[A/L] (2021/22) Funzioni - Esercizio 10

[matypist]

[Elia-Belli]

Definiamo f: X->Y e g: Y->Z:
Se g o f è iniettiva allora ogni elemento di X deve avere immagine distinta in Z
Quindi segue dall'ipotesi che #X = #Im(f) $\subseteq$ Y = #Im(g) $\subseteq$ Z

• Allora f è necessariamente iniettiva, altrimenti la sua immagine avrebbe cardinalità inferiore a X.

• Non è detto che il dominio di g abbia stessa cardinalità di Im(f), quindi g potrebbe associare elementi appartenenti a Y ma non all'immagine ad uno stesso elemento di Z.
  Anche se g rimane "iniettiva" sugli elementi di Im(f), sufficiente affinchè g o f sia iniettiva, potrebbe non esserlo su altri.

Quindi possiamo dire che f è necessariamente iniettiva e che g è necessariamente iniettiva solo sugli elementi di Im(f).