[A-L] (2023/24) Foglio 15 - Esercizio 3

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

Riporto la sezione del libro

Viceversa, si può sempre passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane (per cui, in particolare, ogni sottospazio può venire descritto da equazioni cartesiane lineari). Sia $V = Im A \subseteq\mathbb{R}^n$, in modo che i vettori $v\in V$ siano della forma $v = At$. Per passare a equazioni cartesiane, dobbiamo trovare quali condizioni devono soddisfare le coordinate di $v \in\mathbb{R}^n$ perché il sistema $At = v$ ammetta soluzione. Effettuiamo una riduzione a scala; otteniamo il sistema equivalente $St = c$, dove $S$ è a scala con le ultime $n- rg A$ righe nulle. Dunque il sistema $At=v$ è compatibile se e solo se le ultime $n - rg A$ componenti di $c$ sono uguali a zero - e queste sono le equazioni cartesiane cercate.