[A-L] (2023/24) Foglio 2 - Esercizio 4

[Elia-Belli]

[Elia-Belli]

$$S_3 = \{ \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 1& 2& 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 1& 3& 2 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 2& 1& 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 3& 2& 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 2& 3& 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 3& 1& 2 \end{pmatrix}\}$$

Affinchè un gruppo sia commutativo $s \star s' = s' \star s, \forall s,s' \in G$, quindi ci basta dimostrare che ciò non valga per una coppia $f,f' \in S_3$.
Siano:

$$f = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 1& 3& 2 \end{pmatrix}, f' = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 2& 1& 3 \end{pmatrix}$$

$$f \circ f' = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 3& 1& 2 \end{pmatrix}, f'\circ f = \begin{pmatrix} 1& 2 & 3\\ 2& 3& 1 \end{pmatrix}$$

Abbiamo mostrato che $f \circ f' \neq f' \circ f$ quindi $S_3$ non è un gruppo commutativo (infatti in genere la composizione di funzioni non è commutativa)

[CiottoloMaggico]

[CiottoloMaggico]

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[CarloDaRomadev]