diff --git a/addchapters1/addchapters1_2024_09_06.tex b/addchapters1/addchapters1_2024_09_06.tex index 7b7a3ee..75f1544 100644 --- a/addchapters1/addchapters1_2024_09_06.tex +++ b/addchapters1/addchapters1_2024_09_06.tex @@ -20,6 +20,8 @@ \ExNs{2} $u_n = 1, -1, 1, -1, \dots$ + \hypertarget{numberseriesdefinition}{} + \Def $\{u_n\}$ - последовательность $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots$ называется числовым рядом @@ -54,6 +56,9 @@ $\lim_{n \to \infty} S_n = ?$, но проблема заключается в том, что бы найти формулу для $S_n$ + \hypertarget{sumofseriesdefinition}{} + \hypertarget{seriesconvergence}{} + \Def Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся, а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$ @@ -69,8 +74,12 @@ $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = 1 = S = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)}$ + \hypertarget{referenceseries}{} + \Nota При исследовании на сходимость используются эталонные ряды + \hypertarget{geometricseries}{} + \Ex Геометрический ряд (эталонный): \ \ $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ $S_n = \sum_{k = 0}^n b q^k = b (1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n) = b \frac{1 - q^n}{1 - q}$ @@ -148,6 +157,8 @@ \Nota Докажем расходимость $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ + \hypertarget{harmonicsseries}{} + \Exs Гармонический ряд (эталонный) $\sum_{n = 1}^\infty u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$ @@ -203,6 +214,8 @@ \subsection{3. Условия сходимости рядов} + \hypertarget{necessarycondition}{} + \subsubsection{3.1. Необходимое} \begin{MyTheorem} @@ -225,6 +238,8 @@ \subsubsection{3.2. Критерии (Необходимое и Достаточное условия)} + \hypertarget{cauchycriteria}{} + \Mem Критерий Коши для последовательности: $\{x_n\}$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ |x_m - x_n| < \varepsilon$ diff --git a/addchapters1/addchapters1_exam_list.tex b/addchapters1/addchapters1_exam_list.tex index 260bf27..7e3607f 100644 --- a/addchapters1/addchapters1_exam_list.tex +++ b/addchapters1/addchapters1_exam_list.tex @@ -1,3 +1,5 @@ +\clearpage + \section{X. Программа экзамена в 2024/2025} \begin{center} @@ -6,8 +8,39 @@ \section{X. Программа экзамена в 2024/2025} \begin{enumerate} \item Определение числового ряда, понятие суммы ряда. + + \hyperlink{numberseriesdefinition}{Определение числового ряда}: $\{u_1, u_2, \dots, u_n, \dots\} = \{u_n\}$ называется числовым рядом + + $u_n$ называется общим членом ряда + + \hyperlink{sumofseriesdefinition}{Понятие суммы ряда}: Частичная сумма ряда $S_n \stackrel{def}{=} \sum_{k = 1}^{n} u_k$ + + Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся, + а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$ + \item Сходимость числового ряда. Эталонные ряды: геометрический, гармонический. + + \hyperlink{seriesconvergence}{Сходимость числового ряда}: Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся + + \hyperlink{geometricseries}{Геометрический ряд}: $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ - сходится при $|q| < 1$, тогда $S = \frac{b}{1 - q}$ + + \hyperlink{harmonicseries}{Гармонический ряд}: $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ - расходится + \item Условия сходимости рядов: необходимое условие, критерий Коши. + + \hyperlink{necessarycondition}{Необходимое условие}: + + \begin{MyTheorem} + \Ths Если $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится, то верно, что $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ + \end{MyTheorem} + + \hyperlink{cauchycriteria}{Критерий Коши}: + + \begin{MyTheorem} + $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ \underset{|S_m - S_n| < \varepsilon}{|u_{n + 1} + \dots + u_m|} < \varepsilon$ + \end{MyTheorem} + + \item Знакоположительные числовые ряды, свойства. \item Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения. \item Признак Даламбера, радикальный признак Коши. diff --git a/addchapters1/addchapters1_superconspect.tex b/addchapters1/addchapters1_superconspect.tex index 714ce20..1a887c1 100644 --- a/addchapters1/addchapters1_superconspect.tex +++ b/addchapters1/addchapters1_superconspect.tex @@ -27,6 +27,8 @@ \ExNs{2} $u_n = 1, -1, 1, -1, \dots$ + \hypertarget{numberseriesdefinition}{} + \Def $\{u_n\}$ - последовательность $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n + \dots$ называется числовым рядом @@ -61,6 +63,9 @@ $\lim_{n \to \infty} S_n = ?$, но проблема заключается в том, что бы найти формулу для $S_n$ + \hypertarget{sumofseriesdefinition}{} + \hypertarget{seriesconvergence}{} + \Def Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся, а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$ @@ -76,8 +81,12 @@ $\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n + 1}\right) = 1 = S = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n(n + 1)}$ + \hypertarget{referenceseries}{} + \Nota При исследовании на сходимость используются эталонные ряды + \hypertarget{geometricseries}{} + \Ex Геометрический ряд (эталонный): \ \ $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ $S_n = \sum_{k = 0}^n b q^k = b (1 + q + q^2 + q^3 + \dots + q^n) = b \frac{1 - q^n}{1 - q}$ @@ -155,6 +164,8 @@ \Nota Докажем расходимость $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ + \hypertarget{harmonicsseries}{} + \Exs Гармонический ряд (эталонный) $\sum_{n = 1}^\infty u_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$ @@ -210,6 +221,8 @@ \subsection{3. Условия сходимости рядов} + \hypertarget{necessarycondition}{} + \subsubsection{3.1. Необходимое} \begin{MyTheorem} @@ -232,6 +245,8 @@ \subsubsection{3.2. Критерии (Необходимое и Достаточное условия)} + \hypertarget{cauchycriteria}{} + \Mem Критерий Коши для последовательности: $\{x_n\}$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ |x_m - x_n| < \varepsilon$ @@ -1329,6 +1344,8 @@ \subsubsection{4.3. Интеграл Фурье} % end % begin addchapters1_exam_list.tex +\clearpage + \section{X. Программа экзамена в 2024/2025} \begin{center} @@ -1337,8 +1354,39 @@ \section{X. Программа экзамена в 2024/2025} \begin{enumerate} \item Определение числового ряда, понятие суммы ряда. + + \hyperlink{numberseriesdefinition}{Определение числового ряда}: $\{u_1, u_2, \dots, u_n, \dots\} = \{u_n\}$ называется числовым рядом + + $u_n$ называется общим членом ряда + + \hyperlink{sumofseriesdefinition}{Понятие суммы ряда}: Частичная сумма ряда $S_n \stackrel{def}{=} \sum_{k = 1}^{n} u_k$ + + Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся, + а $S$ называют суммой ряда $\sum_{n = 1}^\infty u_n = S$ + \item Сходимость числового ряда. Эталонные ряды: геометрический, гармонический. + + \hyperlink{seriesconvergence}{Сходимость числового ряда}: Если $\exists \lim_{n \to\infty} S_n = S \in \Real$, то ряд $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ называют сходящимся + + \hyperlink{geometricseries}{Геометрический ряд}: $\sum_{n = 0}^\infty b q^n$ - сходится при $|q| < 1$, тогда $S = \frac{b}{1 - q}$ + + \hyperlink{harmonicseries}{Гармонический ряд}: $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{n}$ - расходится + \item Условия сходимости рядов: необходимое условие, критерий Коши. + + \hyperlink{necessarycondition}{Необходимое условие}: + + \begin{MyTheorem} + \Ths Если $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится, то верно, что $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ + \end{MyTheorem} + + \hyperlink{cauchycriteria}{Критерий Коши}: + + \begin{MyTheorem} + $\sum_{n = 1}^\infty u_n$ сходится $\Longleftrightarrow \forall \varepsilon > 0 \ \exists \underset{n_0 = n_0 (\varepsilon)}{n_0 \in \Natural} \ | \ \forall m > n > n_0 \ \ \underset{|S_m - S_n| < \varepsilon}{|u_{n + 1} + \dots + u_m|} < \varepsilon$ + \end{MyTheorem} + + \item Знакоположительные числовые ряды, свойства. \item Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признаки сравнения. \item Признак Даламбера, радикальный признак Коши. diff --git a/conspects/addchapters1/addchapters1_superconspect.pdf b/conspects/addchapters1/addchapters1_superconspect.pdf index 7a0a52f..ccdb31c 100644 Binary files a/conspects/addchapters1/addchapters1_superconspect.pdf and b/conspects/addchapters1/addchapters1_superconspect.pdf differ