lecture4.tex

\section*{Семинар 4}
Итак мы хотим разобрать страшный алгоритм под названием Primal-Dual

Для примера разберем задачу о покрытии множества

Итак пусть есть множество: 
\[
	\begin{cases}
		E = \{1, 2, \ldots, n\}\\
		\mathcal{F} \subseteq 2^E\\
		G \subseteq \mathcal{F}\\
		\bigcup_{s \in G} s = E\\
		\sum_{s \in G} c(s) \to \min
	\end{cases}
\]

Запишем целочисленную задачу
\[
	\begin{cases}
		x: \mathcal{F} \to \Z_+\\
		\forall e \in E \sum_{e \ni s} x(s) \leq 1\\
		\sum_{e \ni s} c(s) x(s) \to \min
	\end{cases}
\]

Релаксируем
\[
	\begin{cases}
		x: \mathcal{F} \to \R_+\\
		\sum_{s \ni e} x(s) \leq 1 \forall e \in E\\
		\sum_{s \ni e} x(s) c(s) \to \min
	\end{cases}
\]

 Назовем толщиной покрытия $\mathcal{F}: f = \max_{e \in E} \#\{S | S \ni e\}$
 $x^\star \to \tilde{x}$
 $\tilde{x} = I\{x^\star (s) \leq \alpha\}$
 $\alpha = \frac1f$

 $c^T \tilde x \leq f c^T x \star$ -- ибо каждое слагаемое выросло не более чем в $f$ раз

 Ну значит от настоящего решения не более чем в $f$ раз.

 Но это плохо вообще ибо это только сиплексами всякими решать а они численно не устойчивые
 \[
 	\begin{cases}
 		y: E \to \R_+\\
 		\sum_{e \in S} y(e) \leq c(s)  \forall S \in \mathcal{F}\\
 		\sum_{e \in E} y_e \to max
 	\end{cases}
 \]

Цель: получить $x^\star$ и $y^\star$.

Главный инвариант: в любой момент работы алгоритма будет пара $(x, y)$ -- будут удоволетворять условиям дополняющей нежесткости

Главный помошник младшего помошника главного инварианта: $y$ -- допустимое решение нашего инварианта

Как только $x$ стал допустимым то мы нашли решения по теореме дополняющей нежесткости.

Th: Пусть $x, y$ допустимы в прямой и двойственной соответственны, 
то они оптимальны $\Leftrightarrow$ когда выполнены условия дополняющей нежесткости.

Th: ($\alpha \beta$ ) пусть $x, y$ -- допустимы, тогда если выполнены
$(CS^\alpha_x)$, ($CS^\beta_y$) то $x, y$ -- отличаются от оптимальных не более чем в $\alpha \cdot \beta$ раз.

Итак осталось понять что есть $(CS^\alpha_x)$ и $(CS^\beta_y)$й

Пусть есть две \sout{стула} задачи
\[
	\begin{cases}
		x \geq 0\\
		A x \leq b\\
		c^Tx \to \max\\
	\end{cases}
\]

\[
	\begin{cases}
		y \leq 0\\
		A^Ty \leq c\\
		b^T y \to \min
	\end{cases}
\]

Запишем условия доп нежесткости:
$(x_j = 0) \vee \left(\left(A^T y\right)_j = c_j\right)$
$(y_i = 0) \vee \left(\left(A^T x\right)_i = b_i\right)$
И расслабленные
$(x_j = 0) \vee \left(\left(A^T y\right)_j \leq \alpha c_j\right)$
$(y_i = 0) \vee \left(\left(A^T x\right)_i \geq \frac1\beta b_i\right)$

Книги:
Vazirani
Korte-Vygen
Schrijver

Итак веренемся к нашим primal-dual

Запишем условия доп нежесткости
$(CS_x):$ $(x(s) = 0) \vee (\sum_{e \in S} y(e) = c(S)) \forall S \in \mathcal{F}$

$(CS_y):$ $(y(e) = 0) \vee (\sum_{S \ni e} x(s) = 1)$

$(CS_y^f):$ $(y(e) = 0) \vee (\sum_{S \ni e} x(s) \leq f)$ -- это всегда выполнено

И пусть $x, y$ -- допустимы тогда они $f$ приближение.

Итак мы наконец вернемся к нашем алгоритму
Меняем наш главный инвариант на расслабленное условие.

Шаг 1:
Инициализируем $x = 0, y = 0$.

Шаг 2:
Шевеление:
$c'(S) = c(S) - \sum_{e \in S} y(e)$ -- приведенная стоимость.

Условие допустимости: $c'(S) \geq 0$
Условие доп нежесткости: $(x(s) = 0) \vee (c'(S) = 0) \forall S \in \mathcal{F}$
Жесткое множество: $c'(S) = 0$

Итак пусть $c'(S) = 0, x(S) = 0 \Rightarrow x(S) := 1$

Шаг 3:
Оглядется если $x$ допустимый то мы победили

Шаг 4:
$\exists e \in E$ -- не покрытый
$y_e += \min_{s \ni e} C'(S)$