tgamma.md

tgamma

• cmath[meta header]
• std[meta namespace]
• function[meta id-type]
• cpp11[meta cpp]
• [mathjax enable]

namespace std {
  float tgamma(float x);              // (1) C++11からC++20まで
  double tgamma(double x);            // (2) C++11からC++20まで
  long double tgamma(long double x);  // (3) C++11からC++20まで

  floating-point-type
    tgamma(floating-point-type x);    // (4) C++23
  constexpr floating-point-type
    tgamma(floating-point-type x);    // (4) C++26

  double
    tgamma(Integral x);               // (5) C++11
  constexpr double
    tgamma(Integral x);               // (5) C++11

  float
    tgammaf(float x);                 // (6) C++17
  constexpr float
    tgammaf(float x);                 // (6) C++26

  long double
    tgammal(long double x);           // (7) C++17
  constexpr long double
    tgammal(long double x);           // (7) C++26
}

• Integral[italic]

概要

ガンマ関数を求める。

• (1) : floatに対するオーバーロード
• (2) : doubleに対するオーバーロード
• (3) : long doubleに対するオーバーロード
• (4) : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
• (5) : 整数型に対するオーバーロード (doubleにキャストして計算される)
• (6) : float型規定
• (7) : long double型規定

戻り値

引数 x のガンマ関数 $\mathrm{\Gamma }(x)$ を返す。

$$\mathrm{\Gamma }(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$$

備考

• ガンマ関数は階乗の一般化である。階乗はガンマ関数を用いて $n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$ で計算できる。
• C++11 以降では、処理系が IEC 60559 に準拠している場合（std::numeric_limits<T>::is_iec559() != false）、以下の規定が追加される。
  • x = ±0 の場合、戻り値は ±∞ となり、 FE_DIVBYZERO（ゼロ除算浮動小数点例外）が発生する。
  • x が負の整数の場合、戻り値は NaN となり、 FE_INVALID（無効演算浮動小数点例外）が発生する。
  • x = -∞ の場合、戻り値は NaN となり、 FE_INVALID（無効演算浮動小数点例外）が発生する。
  • x = +∞ の場合、戻り値は +∞ となる。
• gamma という関数は既にあったが処理系によって定義が違ったため、本当の (true) ガンマ関数 tgamma と名付けられた。
• C++23では、(1)、(2)、(3)が(4)に統合され、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

lgamma との使い分け

ガンマ関数は急激に増加し容易にオーバーフローするので、代わりにガンマ関数の結果を自然対数で返す関数 lgamma を用いた方が良いことが多くある。 例えばガンマ関数の比を計算する場合には、 ガンマ関数の対数の差を取ってから指数関数 std::exp を適用するのが賢明である。

$$\frac{\mathrm{\Gamma }(2026)}{\mathrm{\Gamma }(2025)}=\exp [\ln \mathrm{\Gamma }(2026)-\ln \mathrm{\Gamma }(2025)]$$

#include <cmath>
#include <iostream>
int main() {
  std::cout << std::tgamma(2026.0) / std::tgamma(2025.0) << std::endl;
  std::cout << std::exp(std::lgamma(2026.0) - std::lgamma(2025.0)) << std::endl;
}

• std::tgamma[color ff0000]
• std::lgamma[color 0000ff][link lgamma.md]

出力例

-nan
2025

上の結果では、直接ガンマ関数を計算した場合はオーバーフローによって inf / inf となり最終結果が -nan になっているが、lgamma を使った場合には正しい値が計算できている。 ただし、lgamma は飽くまでガンマ関数の「絶対値」の対数であることに注意する。 ガンマ関数の引数が負になる場合はガンマ関数が負の値を取りうるので符号は別に求める必要がある。

例

#include <cmath>
#include <iostream>
#include <limits>

int main() {
  std::cout << std::fixed;
  std::cout << "tgamma(-∞)  = " << std::tgamma(-std::numeric_limits<double>::infinity()) << std::endl;
  std::cout << "tgamma(-1)  = " << std::tgamma(-1.0) << std::endl;
  std::cout << "tgamma(0)   = " << std::tgamma(0.0) << std::endl;
  std::cout << "tgamma(0.5) = " << std::tgamma(0.5) << std::endl; // sqrt(pi)
  std::cout << "tgamma(1)   = " << std::tgamma(1.0) << std::endl; // 0!
  std::cout << "tgamma(+∞)  = " << std::tgamma(std::numeric_limits<double>::infinity()) << std::endl;
}

• std::tgamma[color ff0000]
• std::fixed[link ../ios/fixed.md]
• infinity()[link ../limits/numeric_limits/infinity.md]

出力例

tgamma(-∞)  = nan
tgamma(-1)  = nan
tgamma(0)   = inf
tgamma(0.5) = 1.772454
tgamma(2)   = 1.000000
tgamma(+∞)  = inf

バージョン

言語

• C++11

処理系

• Clang: 3.0 [mark verified]
• GCC: 4.3.6 [mark verified]
• ICC: ??
• Visual C++: ??

備考

特定の環境では、早期に constexpr 対応されている場合がある：

• GCC 4.6.1 以上

関連項目

• ガンマ関数の絶対値の自然対数 lgamma

参照

• P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  • C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした
• P1383R2 More constexpr for <cmath> and <complex>
  • C++26でconstexpr対応した