sph_neumann.md

sph_neumann

• cmath[meta header]
• function[meta id-type]
• std[meta namespace]
• [mathjax enable]
• cpp17[meta cpp]

namespace std {
  double
    sph_neumann(unsigned int n,
                double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    sph_neumann(unsigned int n,
                floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    sph_neumann(unsigned int n,
                Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    sph_neumannf(unsigned int n,
                 float x);              // (3) C++17

  long double
    sph_neumannl(unsigned int n,
                 long double x);        // (4) C++17
}

• Promoted[italic]
• Arithmetic[italic]

概要

第2種球ベッセル関数 (spherical Bessel functions of the second kind)、球ノイマン関数 (spherical Neumann functions) を求める。

• (1) :
  • C++17 : doubleに対するオーバーロード
  • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
• (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
• (3) : float型規定
• (4) : long double型規定

戻り値

引数 n, x の第2種球ベッセル関数 $$ n_n(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} N_{n + 1/2}(x) \quad \text{for } x \ge 0 $$ を返す。 $N$ は第2種ベッセル関数 (cyl_neumann)。

備考

• n >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
• (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

例

#include <cmath>
#include <iostream>

constexpr double pi = 3.141592653589793;

void p(unsigned n) {
  for (double r : {0., 0.25, 0.5})
    std::cout << "sph_neumann(" << n << ", " << r << " pi) = " << std::sph_neumann(n, r * pi) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0); // sph_neumann(0, x) = -cos(x) / x
  p(1); // sph_neumann(1, x) = -cos(x) / x^2 - sin(x) / x
  p(2); // sph_neumann(2, x) = (-3 / x^3 + 1 / x) * cos(x) - (3 / x^2) * sin(x)
}

• std::sph_neumann[color ff0000]

出力例

sph_neumann(0, 0 pi) = -inf
sph_neumann(0, 0.25 pi) = -0.900316
sph_neumann(0, 0.5 pi) = -7.66616e-18

sph_neumann(1, 0 pi) = -inf
sph_neumann(1, 0.25 pi) = -2.04663
sph_neumann(1, 0.5 pi) = -0.63662

sph_neumann(2, 0 pi) = -inf
sph_neumann(2, 0.25 pi) = -6.91725
sph_neumann(2, 0.5 pi) = -1.21585

バージョン

言語

• C++17

処理系

• Clang: ??
• GCC: 7.1.0 [mark verified]
• ICC: ??
• Visual C++: ??

実装例

漸化式

$$n_n(x)=\frac{2n-1}{x}{n}_{n-1}(x)-n_{n-2}(x);n_0(x)=-\frac{\cos x}{x},n_1(x)=-\frac{\cos x}{x^2}-\frac{\sin x}{x}$$

関連項目

• 第1種球ベッセル関数 sph_bessel
• 第2種ベッセル関数 cyl_neumann

参照

• N3060 JTC1.22.29124 Programming Language C++ — Special Math Functions
• WG21 P0226R1 Mathematical Special Functions for C++17, v5
• ISO/IEC 29124:2010 Information technology -- Programming languages, their environments and system software interfaces -- Extensions to the C++ Library to support mathematical special functions
• P1467R9 Extended floating-point types and standard names
  • C++23で導入された拡張浮動小数点数型への対応として、float、double、long doubleのオーバーロードをfloating-point-typeのオーバーロードに統合し、拡張浮動小数点数型も扱えるようにした