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assoc_legendre.md

File metadata and controls

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assoc_legendre

  • cmath[meta header]
  • function[meta id-type]
  • std[meta namespace]
  • [mathjax enable]
  • cpp17[meta cpp]
namespace std {
  double
    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   double x);              // (1) C++17
  floating-point-type
    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   floating-point-type x); // (1) C++23

  Promoted
    assoc_legendre(unsigned int l,
                   unsigned int m,
                   Arithmetic x);          // (2) C++17

  float
    assoc_legendref(unsigned int l,
                    unsigned int m,
                    float x);              // (3) C++17

  long double
    assoc_legendrel(unsigned int l,
                    unsigned int m,
                    long double x);        // (4) C++17
}
  • Promoted[italic]
  • Arithmetic[italic]

概要

ルジャンドル陪関数 (associated Legendre functions) を計算する。

  • (1) :
    • C++17 : doubleに対するオーバーロード
    • C++23 : 浮動小数点数型に対するオーバーロード
  • (2) : 算術型に対するオーバーロード (対応する精度の浮動小数点数型にキャストして計算される)
  • (3) : float型規定
  • (4) : long double型規定

戻り値

引数 l, m, x のルジャンドル陪関数 $$ P_l^m(x) = (1 - x^2)^{m/2} \frac{\mathrm d^m}{\mathrm dx^m} P_l(x) \quad \text{for } |x| \le 1 $$ を返す。右辺の $P_l(x)$ はルジャンドル多項式 (legendre)。

備考

  • l >= 128 の場合、この関数の呼び出しの効果は実装定義である
  • (1) : C++23では、拡張浮動小数点数型を含む浮動小数点数型へのオーバーロードとして定義された

負の m の対応

この標準関数は $m$ が正の場合にしか対応していない。 一方でルジャンドル陪関数はロドリゲスの公式を用いて負の $m$ に対して自然に拡張され、 このことは球面調和関数を定義する上でも使われる。 負の $m$ に対してもルジャンドル陪関数を計算する必要がある場合は、関係式 $$ P_l^{-m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m)!}{(l+m)!} P_l^m(x) $$ を用いる必要がある。

#include <cmath>

// 負の m にも対応した実装例
double assoc_legendre(unsigned l, int m, double x) {
  if (m >= 0)
    return std::assoc_legendre(l, (unsigned) m, x);
  else
    return std::pow(-1.0, m) * (std::tgamma(1.0 + l + m) / std::tgamma(1.0 + l - m)) * std::assoc_legendre(l, (unsigned) -m, x);
}
  • std::assoc_legendre[color ff0000]
  • std::tgamma[link tgamma.md]

上記の例では簡単のために階乗をガンマ関数 $n! = \Gamma(n + 1)$ (tgamma) で計算しているが、 計算効率やオーバーフローなどを考えると、直接 $(l + |m|)\cdots(l - |m| + 1)$ で割り算したり、係数を事前計算しておくなど工夫すると良い。

例

#include <cmath>
#include <iostream>

void p(unsigned l, unsigned m) {
  for (double x : {-1., 0., 1.})
    std::cout << "assoc_legendre(" << l << ", " << m << ", " << x << ") = " << std::assoc_legendre(l, m, x) << "\n";
  std::cout << "\n";
}

int main() {
  p(0, 0); // P_0^0(x) = 1
  p(1, 0); // P_1^0(x) = x
  p(1, 1); // P_1^1(x) = (1 - x^2)^(1/2)
  p(2, 0); // P_2^0(x) = (3x^2 - 1) / 2
  p(2, 1); // P_2^1(x) = 3x (1 - x^2)^(1/2)
  p(2, 2); // P_2^2(x) = 3 (1 - x^2)
}
  • std::assoc_legendre[color ff0000]

出力例

assoc_legendre(0, 0, -1) = 1
assoc_legendre(0, 0, 0) = 1
assoc_legendre(0, 0, 1) = 1

assoc_legendre(1, 0, -1) = -1
assoc_legendre(1, 0, 0) = 0
assoc_legendre(1, 0, 1) = 1

assoc_legendre(1, 1, -1) = -0
assoc_legendre(1, 1, 0) = -1
assoc_legendre(1, 1, 1) = -0

assoc_legendre(2, 0, -1) = 1
assoc_legendre(2, 0, 0) = -0.5
assoc_legendre(2, 0, 1) = 1

assoc_legendre(2, 1, -1) = 0
assoc_legendre(2, 1, 0) = -0
assoc_legendre(2, 1, 1) = -0

assoc_legendre(2, 2, -1) = 0
assoc_legendre(2, 2, 0) = 3
assoc_legendre(2, 2, 1) = 0

バージョン

言語

  • C++17

処理系

備考

GCC (libstdc++)

GCC 7.1.0–8.0.0 では l < m の場合 ($P_l^m = 0$) std::domain_error を送出する。

GCC 7.1.0–8.0.0 では $(-1)^m$ 倍された値を返す。

実装例

閉形式

$$ P_l^m(x) = \frac{1}{2^l l!} (1-x^2)^{m/2} \sum_{j=0}^{\lfloor (l-m)/2 \rfloor} (-1)^j \frac{l! (2l-2j)!}{j! (l-j)! (l-m-2j)!} x^{l-m-2j} $$

漸化式

$$ P_l^m(x) = \frac{(2l-1) x P_{l-1}^m(x) - (l+m-1) P_{l-2}^m(x)}{l-m}; \quad P_{m-1}^m(x) = 0, \quad P_m^m(x) = (2m-1)!! (1 - x^2)^{m/2} $$

関連項目

参照