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NOTE LIBERE 27
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Questo non è Pi Greco
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164
062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253
594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659
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819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298
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387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823
537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989......
----------------------------------------
Percorso minimo e massimo in una matrice
----------------------------------------
Data una matrice MxN di numeri interi determinare il percorso a somma minima partendo dalla cella in alto a sinistra (0,0) e terminando nella cella in basso a destra (M-1,N-1).
I movimenti possibili sono a destra e in basso.
Partendo da (0,0) scegliamo il valore minimo (massimo) per il prossimo movimento e andiamo avanti a riempire la matrice con la somma del percorso fino a quel punto.
Al termine il valore del percorso minimo (massimo) si trova nella cella (M-1,N-1) della matrice.
Per capire meglio il procedimento, le funzioni stampano i risultati intermedi.
(setq m '((1 3 2) (2 6 2) (3 3 1)))
(define (print-matrix matrix ch0 ch1)
(local (row col)
(setq row (length matrix))
(setq col (length (matrix 0)))
(for (i 0 (- row 1))
(for (j 0 (- col 1))
(print (format "%3d" (matrix i j)))
)
(println)) '>))
(print-matrix m)
;-> 1 3 2
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
Funzione che calcola il percorso minimo:
(define (path-min matrix)
(local (rows cols destra baso))
(setq rows (length matrix))
(setq cols (length (matrix 0)))
(print-matrix matrix)
(for (r 0 (- rows 1))
(for (c 0 (- rows 1))
(cond ((and (zero? r) (zero? c)) nil)
(true
(setq destra 999999) (setq basso 999999)
(if (!= r 0) (setq basso (+ (matrix r c) (matrix (- r 1) c))))
(if (!= c 0) (setq destra (+ (matrix r c) (matrix r (- c 1)))))
(println "basso: " basso { - } "destra: " destra)
(setf (matrix r c) (min destra basso))
(print-matrix matrix)))))
(matrix (- rows 1) (- cols 1)))
(path-min m)
;-> 1 3 2
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 999999 - destra: 4
;-> 1 4 2
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 999999 - destra: 6
;-> 1 4 6
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 3 - destra: 999999
;-> 1 4 6
;-> 3 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 10 - destra: 9
;-> 1 4 6
;-> 3 9 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 8 - destra: 11
;-> 1 4 6
;-> 3 9 8
;-> 3 3 1
;-> basso: 6 - destra: 999999
;-> 1 4 6
;-> 3 9 8
;-> 6 3 1
;-> basso: 12 - destra: 9
;-> 1 4 6
;-> 3 9 8
;-> 6 9 1
;-> basso: 9 - destra: 10
;-> 1 4 6
;-> 3 9 8
;-> 6 9 9
;-> 9
Funzione che calcola il percorso massimo:
(define (path-max matrix)
(local (rows cols destra baso))
(setq rows (length matrix))
(setq cols (length (matrix 0)))
(print-matrix matrix)
(for (r 0 (- rows 1))
(for (c 0 (- rows 1))
(cond ((and (zero? r) (zero? c)) nil)
(true
(setq destra -1) (setq basso -1)
(if (!= r 0) (setq basso (+ (matrix r c) (matrix (- r 1) c))))
(if (!= c 0) (setq destra (+ (matrix r c) (matrix r (- c 1)))))
(println "basso: " basso { - } "destra: " destra)
(setf (matrix r c) (max destra basso))
(print-matrix matrix)))))
(matrix (- rows 1) (- cols 1)))
(path-max m)
;-> 1 3 2
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: -1 - destra: 4
;-> 1 4 2
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: -1 - destra: 6
;-> 1 4 6
;-> 2 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 3 - destra: -1
;-> 1 4 6
;-> 3 6 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 10 - destra: 9
;-> 1 4 6
;-> 3 10 2
;-> 3 3 1
;-> basso: 8 - destra: 12
;-> 1 4 6
;-> 3 10 12
;-> 3 3 1
;-> basso: 6 - destra: -1
;-> 1 4 6
;-> 3 10 12
;-> 6 3 1
;-> basso: 13 - destra: 9
;-> 1 4 6
;-> 3 10 12
;-> 6 13 1
;-> basso: 13 - destra: 14
;-> 1 4 6
;-> 3 10 12
;-> 6 13 14
;-> 14
Vedi anche "Percorsi in una matrice" su "Note libere 19".
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Centrare una stringa
--------------------
Scriviamo una funzione che centra una stringa all'interno di uno spazio di caratteri prefissato.
Per esempio:
stringa = "123"
spazio = 7
stringa centrata = " 123 "
La 'stringa centrata' è lunga 7 caratteri e contiene al centro la stringa "123".
Quando la lunghezza della stringa e lo spazio hanno parità diverse (pari e dispari o dispari e pari), allora non è possibile centrare esattamente la stringa. In tal caso la stringa viene centrata spostandola di un carattere verso sinistra).
Per esempio:
stringa = "casa"
spazio = 7
stringa centrata = " casa "
La stringa "casa" non può essere centrata esattamente in 7 caratteri e quindi ha un carattere di spaziatura in meno sulla sinistra.
Quando la stringa è più lunga dello spazio, allora restituiamo la stringa.
Per rendere più generica la funzione inseriamo il parametro 'fill-char' che rappresenta il carattere di riempimento degli spazi (default " ").
Funzione che centra una stringa in un determinato spazio di caratteri:
(define (center-string str num-chars fill-char)
(letn ( (len-str (length str)) (space (- num-chars len-str)) )
(setq fill-char (or fill-char " "))
(if (even? space)
; centratura pari
(append (dup fill-char (/ space 2)) str (dup fill-char (/ space 2)))
; centratura dispari
(append (dup fill-char (/ space 2)) str (dup fill-char (+ (/ space 2) 1))))))
Proviamo:
(center-string "newLISP" 15 " ")
;-> " newLISP "
(center-string "newLISP" 15)
;-> " newLISP "
(center-string "newLISP" 15 "-")
;-> "----newLISP----"
(center-string "newLISP" 5)
;-> "newLISP"
Funzione che disegna un albero di natale:
(define (draw-tree levels)
(let ( (last-line-length (- (* levels 2) 1))
(stars 1) )
(for (i 1 levels)
(println (center (dup "*" stars) last-line-length))
(++ stars 2)) '>))
(draw-tree 11)
(draw-tree 40)
;-> *
;-> ***
;-> *****
;-> *******
;-> *********
;-> ***********
;-> *************
;-> ***************
;-> *****************
;-> *******************
;-> *********************
----------------------
Numero di coppie buone
----------------------
Data una lista di numeri interi L, scrivere una funzione che restituisce il numero di coppie buone.
Una coppia di indici (i, j) è detta 'Buona' se L[i] == L[j] e i < j.
Soluzione Brute-Force O(n^2):
Funzione che restituisce tutte le coppie buone:
(define (buone1 lst)
(local (out len)
(setq out '())
(setq len (length lst))
(for (i 0 (- len 2))
(for (j (+ i 1) (- len 1))
(if (= (lst i) (lst j)) (push (list i j) out -1))))
out))
(setq a '(2 4 5 2 2 5))
(buone1 a)
;-> ((0 3) (0 4) (2 5) (3 4))
(setq b '(2 2 2 2))
(buone1 b)
;-> ((0 1) (0 2) (0 3) (1 2) (1 3) (2 3))
(setq c '(1 2 3 4 5))
(buone1 c)
;-> ()
Funzione che conta le coppie buone:
(define (buone2 lst)
(local (conta len)
(setq conta 0)
(setq len (length lst))
(for (i 0 (- len 2))
(for (j (+ i 1) (- len 1))
(if (= (lst i) (lst j)) (++ conta))))
conta))
(buone2 a)
;-> 4
(buone2 b)
;-> 6
(buone2 c)
;-> 0
Soluzione con lista associativa (oppure hash-map) O(n):
Algoritmo:
(setq lst '(2 4 5 2 2 5))
Calcoliamo una lista associativa con elementi del tipo: (numero occorrenze)
(setq unici (unique lst))
;-> (2 4 5)
(setq link (map list unici (count unici lst)))
;-> ((2 3) (4 1) (5 2))
Adesso attraversiamo la lista e per ogni numero x che incontriamo:
1) diminuire di 1 le occorrenze di x nel relativo elemento della lista associata
2) aumentare il conteggio delle coppie buone del valore attuale delle occorrenze di x nel relativo elemento della lista associata
(setq coppie 0)
;-> 0
(dolist (el lst)
(setf (lookup el link) (- $it 1))
(++ coppie (lookup el link)))
;-> 4
(define (buone3 lst)
(local (coppie unici link)
(setq coppie 0)
(setq unici (unique lst))
(setq link (map list unici (count unici lst)))
(dolist (el lst)
(setf (lookup el link) (- $it 1))
(++ coppie (lookup el link)))
coppie))
(buone3 a)
;-> 4
(buone3 b)
;-> 6
(buone3 c)
;-> 0
Vediamo la velocità delle due funzioni:
(setq test (rand 100 1000))
(time (buone2 test))
;-> 471.736
(time (buone3 test))
;-> 0.952
La funzione 'buone3' è molto veloce, ma non è possibile estrapolare il valore delle coppie.
-----------------------
Madhava di Sangamagrama
-----------------------
Madhava di Sangamagrama (1350-1425) è un matematico indiano che intorno al 1400 scrisse la seguente poesia su Pi greco:
Dei (33), occhi (2), elefanti (8), serpenti (8), fuochi (3), qualità (3), veda (4), naksatra (27), elefanti (8) e braccia (2): il saggio dice che questa è la misura della circonferenza quando il raggio è 90,000,000,000.
Pi greco = 3.1415926535897931...
(setq pi 3.1415926535897931)
Prendiamo la lista dei numeri partendo dalla fine 282743388233 e dividiamolo per 90,000,000,000:
(setq madha (div 282743388233 90000000000))
;-> 3.141593202588889
Errore assoluto:
(abs (sub madha pi))
;-> 5.48999095961733e-007
(abs (sub 3.141593202588889 3.1415926535897931))
;-> 5.48999095961733e-007
Errore percentuale:
(div (abs (sub madha pi)) pi)
;-> 1.747518397505832e-007
(div (abs (sub 3.141593202588889 3.1415926535897931)) 3.1415926535897931)
;-> 1.747518397505832e-007
Madhava ha anche trovato diverse serie per il calcolo di Pi greco, tra cui la seguente che converge molto velocemente:
Pi greco = sqrt(12)*(1 - 1/(3*3) + 1/(5 * 3^2) - 1/(7 * 3^3) + ...)
(define (madhava termini)
(let ( (somma nil) (potenza 1) (base 3) (numero 3) (serie 1) )
(for (i 1 termini)
(if somma
(setq serie (add serie (div (mul numero (pow base potenza)))))
;else
(setq serie (sub serie (div (mul numero (pow base potenza)))))
)
(++ potenza)
(++ numero 2)
(setq somma (not somma))
)
(mul (sqrt 12) serie))
Proviamo:
(setq m20 (madhava 20))
;-> 3.141592653595635
(abs (sub pi m20))
;-> 5.841993555577574e-012
----------------------
Numero di coppie buone
----------------------
Data una lista di numeri interi L, scrivere una funzione che restituisce il numero di coppie buone.
Una coppia di indici (i, j) è detta 'Buona' se L[i] == L[j] e i < j.
Soluzione Brute-Force O(n^2):
Funzione che restituisce tutte le coppie buone:
(define (buone1 lst)
(local (out len)
(setq out '())
(setq len (length lst))
(for (i 0 (- len 2))
(for (j (+ i 1) (- len 1))
(if (= (lst i) (lst j)) (push (list i j) out -1))))
out))
(setq a '(2 4 5 2 2 5))
(buone1 a)
;-> ((0 3) (0 4) (2 5) (3 4))
(setq b '(2 2 2 2))
(buone1 b)
;-> ((0 1) (0 2) (0 3) (1 2) (1 3) (2 3))
(setq c '(1 2 3 4 5))
(buone1 c)
;-> ()
Funzione che conta le coppie buone:
(define (buone2 lst)
(local (conta len)
(setq conta 0)
(setq len (length lst))
(for (i 0 (- len 2))
(for (j (+ i 1) (- len 1))
(if (= (lst i) (lst j)) (++ conta))))
conta))
(buone2 a)
;-> 4
(buone2 b)
;-> 6
(buone2 c)
;-> 0
Soluzione con lista associativa (oppure hash-map) O(n):
Algoritmo:
(setq lst '(2 4 5 2 2 5))
Calcoliamo una lista associativa con elementi del tipo: (numero occorrenze)
(setq unici (unique lst))
;-> (2 4 5)
(setq link (map list unici (count unici lst)))
;-> ((2 3) (4 1) (5 2))
Adesso attraversiamo la lista e per ogni numero x che incontriamo:
1) diminuire di 1 le occorrenze di x nel relativo elemento della lista associata
2) aumentare il conteggio delle coppie buone del valore attuale delle occorrenze di x nel relativo elemento della lista associata
(setq coppie 0)
;-> 0
(dolist (el lst)
(setf (lookup el link) (- $it 1))
(++ coppie (lookup el link)))
;-> 4
(define (buone3 lst)
(local (coppie unici link)
(setq coppie 0)
(setq unici (unique lst))
(setq link (map list unici (count unici lst)))
(dolist (el lst)
(setf (lookup el link) (- $it 1))
(++ coppie (lookup el link)))
coppie))
(buone3 a)
;-> 4
(buone3 b)
;-> 6
(buone3 c)
;-> 0
Vediamo la velocità delle due funzioni:
(setq test (rand 100 1000))
(time (buone2 test))
;-> 471.736
(time (buone3 test))
;-> 0.952
La funzione 'buone3' è molto veloce, ma non è possibile estrapolare il valore delle coppie.
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Numeri di Bernoulli e somma di potenze di interi successivi
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La somma delle potenze di numeri successivi è definita nel modo seguente:
Sum[k=1,n]k^m = 1^m + 2^m + 3^m + ...+ n^m
dove m e n sono numeri interi positivi.
Per m = 1: Sum[k=1,n]k = n*(n+1)/2
Per m = 2: Sum[k=1,n]k^2 = n*(n + 1)*(2*n + 1)/6
Per m = 3: Sum[k=1,n]k^3 = n^2*(n + 1)^2/4
La formula per un generico m è stata dimostrata da Jacobi ed è chiamata "Formula di Faulhaber":
1
Sum[k=1,n]k^m = ---------*Sum[k=0,m]*(-1)^k*binom(m+1,k)*B(k)*n^(m+1-k)
(m + 1)
dove B(k) è il k-esimo numero di Bernoulli.
I numeri di Bernoulli sono una sequenza di costanti che compaiono nella formula per il calcolo della somma delle potenze dei primi N numeri interi positivi.
Le costanti e la formula per il loro calcolo sono state scoperte dal matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654-1705) fu il primo a rendersi conto dell’esistenza di una singola sequenza di costanti che prevedono una formula uniforme per tutte le somme di potenze.
Data la funzione:
x
f(x) = ---------
e^x - 1
I numeri di Bernoulli sono definiti come:
B(n) = lim f(n)(x)
x->0
dove f(n)(x) rappresenta la derivata n-esima di f(x)
B(0) = lim f(x) = 1
x->0
B(1) = lim f'(x) = -1/2
x->0
B(2) = lim f''(x) = 1/6
x->0
B(3) = ...
Bernoulli ha dimostrato che i numeri B(n) possono essere calcolati ricorsivamente con la seguente formula:
B(0) = 1, per n = 0
1
B(n) = - ---------*Sum[k=0,n-1]binom(n+1,k)*B(k), per n > 0
(n + 1)
I primi valori dei numeri di Bernoulli sono i seguenti:
+----+--------------+
| n | B(n) |
+----+--------------+
| 0 | 1 |
| 1 | -1/2 |
| 2 | 1/6 |
| 3 | 0 |
| 4 | -1/30 |
| 5 | 0 |
| 6 | 1/42 |
| 7 | 0 |
| 8 | -1/30 |
| 9 | 0 |
| 10 | 5/66 |
| 11 | 0 |
| 12 | -691/2730 |
| 13 | 0 |
| 14 | 7/6 |
| 15 | 0 |
| 16 | -3617/510 |
| 17 | 0 |
| 18 | 43867/798 |
| 19 | 0 |
| 20 | -174611/330 |
| 21 | 0 |
| 22 | ... |
+-----+--------------+
(define (binom num k)
"Calculates the binomial coefficient (n k) = n!/(k!*(n - k)!) (combinations of k elements without repetition from n elements)"
(cond ((> k num) 0)
((zero? k) 1)
(true
(let (r 1L)
(for (d 1 k)
(setq r (/ (* r num) d))
(-- num)
)
r))))
(define (semplifica-frazione frazione)
(letn ((num (first frazione))
(den (last frazione))
(divisor (gcd (abs num) (abs den))))
(list (/ num divisor) (/ den divisor))))
(define (somma-frazioni a b)
(let ((num-a (first a)) (den-a (last a))
(num-b (first b)) (den-b (last b)))
(semplifica-frazione (list (+ (* num-a den-b) (* num-b den-a)) (* den-a den-b)))))
(define (moltiplica-frazioni a b)
(semplifica-frazione (list (* (first a) (first b)) (* (last a) (last b)))))
(define (bernoulli num)
(setq bernoulli-memo '((0 (1 1))))
(define (bernoulli-aux n)
(local (memo bk binom-nk somma num den)
(cond ((= n 0) '(1 1)) ; B(0) = 1 come frazione (1/1)
(true
(setq memo (lookup n bernoulli-memo))
(if memo
memo
(let (somma '(0 1))
(for (k 0 (- n 1))
(setq bk (bernoulli-aux k))
(setq binom-nk (binom (+ n 1) k))
(setf somma (somma-frazioni somma (moltiplica-frazioni bk (list binom-nk 1))))
(setq num (- (somma 0)))
(setq den (* (+ n 1) (somma 1)))
)
(push (list n (semplifica-frazione (list num den))) bernoulli-memo -1)
(semplifica-frazione (list num den))))))))
(bernoulli-aux num)
bernoulli-memo)
Proviamo:
(bernoulli 22)
;-> ((0 (1 1)) (1 (-1 2)) (2 (1 6)) (3 (0 1)) (4 (-1 30)) (5 (0 1))
;-> (6 (1 42)) (7 (0 1)) (8 (-1 30)) (9 (0 1)) (10 (5 66)) (11 (0 1))
;-> (12 (-691 2730)) (13 (0 1)) (14 (7 6)) (15 (0 1)) (16 (-3617 510))
;-> (17 (0 1)) (18 (43867 798)) (19 (0 1)) (20 (-174611 330)) (21 (0 1))
;-> (22 (854513 138)))
-------------------------------
Selezione casuale con blacklist
-------------------------------
Abbiamo un intero n e una lista di interi univoci nell'intervallo [0, n - 1] (blacklist).
Scrivere una funzione che seleziona casualmente un intero casuale nell'intervallo [0, n - 1] che non sia nella blacklist.
Qualsiasi intero nell'intervallo e non nella blacklist deve avere la stessa probabilità di essere selezionato.
Algoritmo
1) Generare la sequenza dei numeri 0..(n-1)
2) Calcolare la differenza insiemistica tra la sequenza e la blacklist.
3) Utilizzare rand per generare un indice compreso tra 0 e la lunghezza della lista differenza
4) Selezionare l'elemento di questo indice dalla lista differenza
Per esempio:
(setq n 7)
;-> 7
(setq nums (sequence 0 (- n 1)))
;-> (0 1 2 3 4 5 6)
(setq blacklist '(2 3 5))
;-> (2 3 5)
(setq diff (difference nums blacklist))
;-> (0 1 4 6)
(diff (rand (length diff)))
;-> 0
(diff (rand (length diff)))
;-> 4
Scriviamo la funzione:
(define (rand-bl num blacklist)
(letn ( (nums (sequence 0 (- num 1)))
(diff (difference nums blacklist)) )
(diff (rand (length diff)))))
Proviamo:
(rand-bl 10 '(1 6 9))
;-> 0
(rand-bl 10 '(1 6 9))
;-> 8
(rand-bl 10 '(1 6 9))
;-> 5
Vediamo la frequenza dei numeri selezionati:
(count (sequence 0 9) (collect (rand-bl 10 '(1 6 9)) 10000))
;-> (1399 0 1429 1386 1410 1488 0 1438 1450 0)
Nota: l'algoritmo minimizza il numero di chiamate alla funzione casuale integrata "rand".
--------------------------------------------------
Operazioni aritmetiche (+,-,*,/) su interi-stringa
--------------------------------------------------
Funzioni per il calcolo delle quattro operazioni aritmetiche (+,-,*,/) su stringhe che rappresentano numeri interi.
I numeri negativi devono avere il segno "-".
I numeri positivi non devono avere il segno "+".
;---------------------
; Funzioni di supporto
;---------------------
; Funzione che verifica i risultati "-0":
(define (check-0 str) (if (= str "-0") "0" str))
; Funzione che verifica se il numero str1 è minore del numero str2
(define (smaller? str1 str2)
(local (n1 n2 out)
(setq n1 (length str1))
(setq n2 (length str2))
(cond ((> n1 n2) (setq out nil))
((< n1 n2) (setq out true))
(true
(setq out nil)
(setq stop nil)
(for (i 0 (- n1 1) 1 stop)
(cond ((< (str1 i) (str2 i))
(set 'out true 'stop true))
((> (str1 i) (str2 i))
(set 'out nil 'stop true))))))
out))
;-----------
; ADDIZIONE
;-----------
; Funzione che calcola la somma di due numeri-stringa
(define (string-add str1 str2)
(local (s1 s2)
(setq s1 (str1 0))
(if (= s1 "-") (pop str1))
(setq s2 (str2 0))
(if (= s2 "-") (pop str2))
(cond ((and (= s1 "-") (= s2 "-")) ; due numeri negativi
(check-0 (push "-" (add-string str1 str2))))
((= s1 "-") ; primo numero negativo
(if (smaller? str1 str2)
(check-0 (sub-string str2 str1))
(check-0 (push "-" (sub-string str1 str2)))))
((= s2 "-") ; secondo numero negativo
(if (smaller? str1 str2)
(check-0 (push "-" (sub-string str2 str1)))
(check-0 (sub-string str2 str1))))
(true (add-string str1 str2))))) ; due numeri positivi
; Funzione ausiliaria per la somma di due numeri-stringa
(define (add-string str1 str2)
(local (n1 n2 str val carry z)
(setq z (char "0"))
; str2 deve essere la più lunga
(if (> (length str1) (length str2)) (swap str1 str2))
(setq str "")
(setq n1 (length str1))
(setq n2 (length str2))
; inversione delle stringhe
(reverse str1)
(reverse str2)
(setq carry 0)
; Ciclo per tutta la stringa più corta
; sottrae le cifre di str2 a str1
(for (i 0 (- n1 1))
; calcolo della somma delle cifre correnti e
; del riporto (carry)
(setq val (+ (- (char (str1 i)) z)
(- (char (str2 i)) z)
carry))
(extend str (char (+ (% val 10) z)))
(setq carry (int (div val 10)))
)
(if (!= n1 n2) (begin
; aggiunge le cifre rimanenti di str2
(for (i n1 (- n2 1))
(setq val (+ (- (char (str2 i)) z) carry))
(extend str (char (+ (% val 10) z)))
(setq carry (int (div val 10)))
))
)
; se esiste, aggiunge il riporto (carry)
(if (> carry 0) (extend str (char (+ carry z))))
; inverte la stringa
(reverse str)))
;-------------
; SOTTRAZIONE
;-------------
; Funzione che calcola la differenza di due numeri-stringa
(define (string-sub str1 str2)
(local (s1 s2)
(setq s1 (str1 0))
(if (= s1 "-") (pop str1))
(setq s2 (str2 0))
(if (= s2 "-") (pop str2))
(cond ((and (= s1 "-") (= s2 "-")) ; due numeri negativi
(if (smaller? str1 str2)
(sub-string str2 str1)
(check-0 (push "-" (sub-string str1 str2)))))
((= s1 "-") ; primo numero negativo
(if (smaller? str1 str2)
(check-0 (push "-" (add-string str2 str1)))
(check-0 (push "-" (add-string str1 str2)))))
((= s2 "-") ; secondo numero negativo
(check-0 (add-string str2 str1)))
(true ; due numeri positivi
(if (smaller? str1 str2)
(check-0 (push "-" (sub-string str1 str2)))
(check-0 (sub-string str1 str2)))))))
; Funzione ausiliaria per la differenza di due numeri-stringa
(define (sub-string str1 str2)
(local (n1 n2 str val carry z)
(setq z (char "0"))
; str1 deve essere maggiore o uguale a str2
(if (smaller? str1 str2) (swap str1 str2))
(setq str "")
(setq n1 (length str1))
(setq n2 (length str2))
; inversione delle stringhe
(reverse str1)
(reverse str2)
(setq carry 0)
; Ciclo per tutta la stringa più corta
; sottrae le cifre di str1 a str2
(for (i 0 (- n2 1))
(setq val (int (str1 i)))
(setq val (- (- (char (str1 i)) z)
(- (char (str2 i)) z)
carry))
; Se la sottrazione è minore di zero
; allora aggiungiamo 10 a val e
; poniamo il riporto (carry) a 1
(if (< val 0)
(set 'val (+ val 10) 'carry 1)
; else
(set 'carry 0)
)
(extend str (char (+ val z)))
)
; sottrae le cifre rimanenti del numero maggiore
(if (!= n1 n2) (begin
; sottrae le cifre che rimangono di str1
(for (i n2 (- n1 1))
(setq val (- (- (char (str1 i)) z) carry))
; se il valore val è negativo, allora lo rende positivo
(if (< val 0)
(set 'val (+ val 10) 'carry 1)
;else
(set 'carry 0)
)
(extend str (char (+ val z)))
))
)
(reverse str)
; toglie gli (eventuali) zeri iniziali
(while (= (str 0) "0") (pop str))
(if (= str "") (setq str "0"))
str))
;-----------------
; MOLTIPLICAZIONE
;-----------------
; Funzione che calcola la moltiplicazione di due numeri-stringa
(define (string-mul str1 str2)
(local (s1 s2)
(setq s1 (str1 0))
(if (= s1 "-") (pop str1))
(setq s2 (str2 0))
(if (= s2 "-") (pop str2))
(cond ((and (= s1 "-") (= s2 "-")) ; due numeri negativi
(mul-string str1 str2))
((or (= s1 "-") (= s2 "-"))
(check-0 (push "-" (mul-string str1 str2))) ; uno dei due negativo
(true (mul-string str1 str2))))) ; due numeri positivi
; Funzione ausiliaria per la moltiplicazione di due numeri-stringa
(define (mul-string x y) ; a and b are strings of decimal digits
(letn ( nx (length x)
ny (length y)
np (+ nx ny)
X (array nx (reverse (map int (explode x))))
Y (array ny (reverse (map int (explode y))))
Q (array (+ nx 1) (dup 0 (+ nx 1)))
P (array np (dup 0 np))
carry 0
digit 0 )
(dotimes (i ny) ; for each digit of the multiplier
(dotimes (j nx) ; for each digit of the multiplicant
(setq digit (+ (* (Y i) (X j)) carry) )
(setq carry (/ digit 10))
(setf (Q j) (% digit 10)) )
(setf (Q nx ) carry)
; add Q to P shifted by i
(setq carry 0)
(dotimes (j (+ nx 1))
(setq digit (+ (P (+ j i)) (Q j) carry))
(setq carry (/ digit 10))
(setf (P (+ j i)) (% digit 10)) )
)
; translate P to string and return
(setq P (reverse (array-list P)))
(if (zero? (P 0)) (pop P))
(join (map string P))))
;-----------
; DIVISIONE
;-----------
; Funzione che calcola la divisione (intera) di due numeri-stringa
(define (string-div str1 str2)
(local (s1 s2)
(setq s1 (str1 0))
(if (= s1 "-") (pop str1))
(setq s2 (str2 0))
(if (= s2 "-") (pop str2))
(cond ((and (= s1 "-") (= s2 "-")) ; due numeri negativi
(div-string str1 str2))
((or (= s1 "-") (= s2 "-")) ; uno dei due negativo
(check-0 (push "-" (div-string str1 str2))))
(true (div-string str1 str2))))) ; due numeri positivi
; Funzione ausiliaria per la divisione di due numeri-stringa
(define (div-string str1 str2)
(let (conta 0)
(cond
((= str1 str2 0) (setq conta "0/0"))
((= str1 0) (setq conta "0"))
((= str2 0) (setq conta "1/0"))
((smaller? str1 str2) (setq conta "0"))
((= str1 str2) (setq conta "1"))
(true
(while (smaller? str2 str1)
(setq str1 (sub-string str1 str2))
(++ conta)
)
(if (= str1 str2) (++ conta)))
)
(string conta)))
;------
; TEST
;------
(define (rand-range min-val max-val)
"Generate a random integer in a closed range"
(if (> min-val max-val) (swap min-val max-val))
(+ min-val (rand (+ (- max-val min-val) 1))))
; Funzione per il test delle quattro operazioni con i numeri-stringa
; Numeri nell'intervallo [-1e9,1e9]
(define (test num-oper)
(local (v1 v2 re1 res2)
(setq v1 (collect (rand-range -1e9 1e9) num-oper))
(setq v2 (collect (rand-range -1e9 1e9) num-oper))
(for (i 0 (- num-oper 1))
;(if (zero? (% i (/ num-oper 10))) (println i))
; test addizione
(setq res1 (string (+ (v1 i) (v2 i))))
(setq res2 (string-add (string (v1 i)) (string (v2 i))))
(if (!= res1 res2) (println "add: " res1 { } res2 { } (v1 i) { } (v2 i)))
; test sottrazione
(setq res1 (string (- (v1 i) (v2 i))))
(setq res2 (string-sub (string (v1 i)) (string (v2 i))))
(if (!= res1 res2) (println "sub: "res1 { } res2 { } (v1 i) { } (v2 i)))
; test moltiplicazione
(setq res1 (string (* (v1 i) (v2 i))))
(setq res2 (string-mul (string (v1 i)) (string (v2 i))))
(if (!= res1 res2) (println "mul: "res1 { } res2 { } (v1 i) { } (v2 i)))
; test divisione
(setq res1 (string (/ (v1 i) (v2 i))))
(setq res2 (string-div (string (v1 i)) (string (v2 i))))
(if (!= res1 res2) (println "div: "res1 { } res2 { } (v1 i) { } (v2 i)))
)))
(time (test 1e4))
;-> 2661.948
(time (test 1e5))
;-> 145004.108
Nota: le funzioni sono molto lente (specialmente la divisione).
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Sequenza di Berstel
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Sequenza OEIS A007420:
Berstel sequence: a(n+1) = 2*a(n) - 4*a(n-1) + 4*a(n-2).
0, 0, 1, 2, 0, -4, 0, 16, 16, -32, -64, 64, 256, 0, -768, -512, 2048,
3072, -4096, -12288, 4096, 40960, 16384, -114688, -131072, 262144,