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<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<meta name="generator" content="pandoc" />
<meta http-equiv="X-UA-Compatible" content="IE=EDGE" />
<title>Régression logistique : fichier ‘spam’</title>
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// manage active state of menu based on current page
$(document).ready(function () {
// active menu anchor
href = window.location.pathname
href = href.substr(href.lastIndexOf('/') + 1)
if (href === "")
href = "index.html";
var menuAnchor = $('a[href="' + href + '"]');
// mark it active
menuAnchor.parent().addClass('active');
// if it's got a parent navbar menu mark it active as well
menuAnchor.closest('li.dropdown').addClass('active');
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.tabset-dropdown > .nav-tabs {
display: inline-table;
max-height: 500px;
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active:before {
content: "";
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content: "";
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.tabset-dropdown > .nav-tabs.nav-tabs-open:before {
content: "";
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li.active {
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.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:focus,
.tabset-dropdown > .nav-tabs > li > a:hover {
border: none;
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<!-- code folding -->
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</style>
</head>
<body>
<div class="container-fluid main-container">
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<div class="row-fluid">
<div class="col-xs-12 col-sm-4 col-md-3">
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</div>
</div>
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</div><!--/.navbar -->
<div class="fluid-row" id="header">
<h1 class="title toc-ignore">Régression logistique : fichier ‘spam’</h1>
</div>
<p><br /> <br /></p>
<div id="les-donnees" class="section level2">
<h2><strong>Les données</strong></h2>
<div class="jumbotron">
<strong>Prédire un mail comme étant un “spam” ?</strong><br /> source : <br /> <a href="http://archive.ics.uci.edu/ml/index.php" class="uri">http://archive.ics.uci.edu/ml/index.php</a> <br /> <a href="http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/spambase/" class="uri">http://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/spambase/</a> <br /> Extrait des informations du fichier : <br />
<ul>
<li>
Creators: Mark Hopkins, Erik Reeber, George Forman, Jaap Suermondt Hewlett-Packard Labs, 1501 Page Mill Rd., Palo Alto, CA 94304
<li>
Donor: George Forman (gforman at nospam hpl.hp.com) 650-857-7835
<li>
Generated: June-July 1999<br />
</ul>
</div>
<p><strong>Informations principales sur la structure de données :</strong></p>
<pre><code>Attribute Information:
# The last column of 'spambase.data' denotes whether the e-mail was
# considered spam (1) or not (0), i.e. unsolicited commercial e-mail.
# Most of the attributes indicate whether a particular word or
# character was frequently occuring in the e-mail. The run-length
# attributes (55-57) measure the length of sequences of consecutive
# capital letters. For the statistical measures of each attribute,
# see the end of this file. Here are the definitions of the attributes:
#
# 48 continuous real [0,100] attributes of type word_freq_WORD
# = percentage of words in the e-mail that match WORD,
# i.e. 100 * (number of times the WORD appears in the e-mail) /
# total number of words in e-mail. A "word" in this case is any
# string of alphanumeric characters bounded by non-alphanumeric
# characters or end-of-string.
#
# 6 continuous real [0,100] attributes of type char_freq_CHAR
# = percentage of characters in the e-mail that match CHAR,
# i.e. 100 * (number of CHAR occurences) / total characters in e-mail
#
# 1 continuous real [1,...] attribute of type capital_run_length_average
# = average length of uninterrupted sequences of capital letters
#
# 1 continuous integer [1,...] attribute of type capital_run_length_longest
# = length of longest uninterrupted sequence of capital letters
#
# 1 continuous integer [1,...] attribute of type capital_run_length_total
# = sum of length of uninterrupted sequences of capital letters
# = total number of capital letters in the e-mail
#
# 1 nominal {0,1} class attribute of type spam
# = denotes whether the e-mail was considered spam (1) or not (0),
# i.e. unsolicited commercial e-mail.
#
#
# 8. Missing Attribute Values: None
#
# 9. Class Distribution:
# Spam 1813 (39.4%)
# Non-Spam 2788 (60.6%)</code></pre>
<p>Pour résumer, le fichier se compose de 54 colonnes reprsentant des fréquences d’apparation d’un mot (“wf_hp” pour le mot “hp”) ou la fréquence d’un caractère spécial (“cf_dollar” pour le caractère “$”). Enfin nous avons 3 colonnes liées aux caractères en majuscule et la variable réponse (spam “1”, non spam “0”).</p>
</div>
<div id="analyse-descriptive" class="section level2">
<h2><strong>Analyse descriptive</strong></h2>
<p><strong>Proportion Mail/Spam :</strong></p>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="672" /></p>
<p><strong>Moyenne des frequences des mots/caracteres par type de mail spam/non spam :</strong> <img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-3-1.png" width="672" /></p>
<div class="commentaire">
<p>On peut constater que le fichier est composé majoritairement d’emails (“non spam”, 61%)<br /> On note également l’apparition d’un caractère “!” dans les mails de type “spam”</p>
</div>
<p><br /><br /></p>
</div>
<div id="partie-modelisation" class="section level2">
<h2><strong>Partie modélisation</strong></h2>
<div id="presentation-des-notations-et-rappels-theoriques" class="section level3">
<h3>Présentation des notations et rappels théoriques</h3>
<p><b><u>Notations :</u></b></p>
<p><span class="math inline">\(X=(1,X_{1},...,X_{p})'\)</span>, vecteur aléatoire de dimension <span class="math inline">\(p+1\)</span>.<br /> Les marginales <span class="math inline">\(X_{j}\)</span> sont les variables explicatives.<br /> Soit <span class="math inline">\(x=(1,x_{1},...,x_{p})'\)</span>, une réalisation de <span class="math inline">\(X\)</span>.<br /> <span class="math inline">\(Y\)</span> variable à expliquer (univariée).<br /> <span class="math inline">\((X_{1},Y_{1}),...,(X_{n},Y_{n})\)</span> un échantillon aléatoire (iid et de même loi que le couple <span class="math inline">\((X,Y)\)</span>) tel que <span class="math inline">\(X_{i}=(1,X_{i1},...,X_{ip})'\)</span>.<br /> <span class="math inline">\((x_{1},y_{1}),...,(x_{n},y_{n})\)</span> une réalisation de <span class="math inline">\((X_{1},Y_{1}),...,(X_{n},Y_{n})\)</span>.<br /> <span class="math inline">\(X\)</span> matrice des observations :<br /> <span class="math inline">\(\begin{matrix} 1 & x_{11} \cdots & x_{1p} \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n1}\cdots & x_{np} \end{matrix}\)</span></p>
<p><br /></p>
<p><b><u>Rappels sur le modèle linéaire :</u></b></p>
<p>On cherche à expliquer une variable <span class="math inline">\(Y\)</span> par <span class="math inline">\(p\)</span> variables <span class="math inline">\(X=(1,X_{1},...,X_{p})'\)</span>. Le but est de modéliser la dépendance de la variable réponse <span class="math inline">\(Y\)</span> sur les variables explicatives <span class="math inline">\(X_{1},...,X_{p}\)</span>.<br /></p>
<p><b><u>Les aspects de la modélisation :</u></b></p>
<ul>
<li>
La description : décrire la relation entre <span class="math inline">\(Y\)</span> et <span class="math inline">\(X\)</span>
<li>
L’évaluation : les contributions relatives de chaque prédicteur pour expliquer <span class="math inline">\(Y\)</span>
<li>
La prédiction : prévoir la valeur de <span class="math inline">\(Y\)</span> pour les nouvelles valeurs de <span class="math inline">\(X\)</span><br />
</ul>
<p><b><u>Le modèle linéaire s’écrit :</u></b></p>
<p><span class="math inline">\(Y=X'\beta + \epsilon = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+...+\beta_{p}X_{p}+\epsilon\)</span><br /> Avec<br /> <span class="math inline">\(\beta=(\beta_{0},\beta_{1},...,\beta_{p})' \in \mathbb{R}^{p+1}\)</span> et <span class="math inline">\(\epsilon=N(0,\sigma^2)\)</span> <span class="math inline">\(Y\sim N(X'\beta,\sigma^2)\)</span> (hypothèse d’homoscédasticité)<br /></p>
<p>Dans le cas d’une variable <span class="math inline">\(Y\)</span> <strong>qualitative</strong> (état, sexe, couleur), l’enjeu est d’expliquer l’appartenance d’un individu à un groupe à partir des <span class="math inline">\(p\)</span> variables (on parlera de discrimination).<br /> <br /> ⚠⚠⚠<br /> Contrairement à la régression linéaire, ici on ne peut pas modéliser directement une relation linéaire entre <span class="math inline">\(Y\)</span> et <span class="math inline">\(X\)</span>.<br /> ⚠⚠⚠<br /></p>
<p>On va s’interesser aux probabilités <span class="math inline">\(P(Y=g_{k}|X=x)\)</span>. Pour simplifier, prenons le cas ou <span class="math inline">\(Y\)</span> est binaire (0 ou 1). De fait, si l’on connait <span class="math inline">\(P(Y=1|X=x)\)</span> on connait <span class="math inline">\(P(Y=0|X=x)\)</span>.<br /> On peut envisager une relation de la forme :<br /> <span class="math inline">\(p_{\beta}(x)=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+...+\beta_{p}X_{p}+\epsilon=X'\beta+\epsilon\)</span><br /> <br /> Ici l’hypothèse d’homoscedasticité des résidus est non vérifiée. En effet, la variance de <span class="math inline">\(Y|X = p_{\beta}(x)*(1-p_{\beta}(x))\)</span> (non constante).<br /> Egalement, à ce stade nous n’avons pas de restriction sur les valeurs des <span class="math inline">\(\beta\)</span> et donc des valeurs de <span class="math inline">\(p_{\beta}(x)\)</span> <span class="math inline">\((p_{\beta}(x)\in\mathbb{R})\)</span>.<br /></p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="application-de-la-regression-logistique" class="section level3">
<h3>Application de la régression logistique</h3>
<p>Dans notre cas, nous voulons expliquer la variable <span class="math inline">\(Y\)</span> (spam “1” ou non spam “0”) par <span class="math inline">\(p\)</span> variables explicatives <span class="math inline">\(X=(1,X_{1},...,X_{p})'\)</span>.<br /> Le modèle logistique propose une modélisation de la loi de <span class="math inline">\(Y|X=x\)</span> par une loi de <strong><em>Bernouilli</em></strong> de paramètre <span class="math inline">\(p_{\beta}(x)=P_{\beta}(Y=1|X=x)\)</span> telle que :<br /> <span class="math inline">\(log(\frac{p_{\beta}(x)}{1-p_{\beta}(x)})=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+...+\beta_{p}X_{p}=x'\beta\)</span><br /> ou encore <span class="math inline">\(logit \space p_{\beta}(x)=x'\beta\)</span><br /> <span class="math inline">\(logit\)</span> désignant la fonction bijective et dérivable de <span class="math inline">\(]0 \space 1[\)</span> dans <span class="math inline">\(\mathbb{R}:p \to log(p/1-p)\)</span><br /></p>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-4-1.png" width="480" /></p>
<p>L’égalité peut s’écrire : <br /> <span class="math inline">\(P_{\beta}(Y=1|X=x)=\frac{\mathrm{e}^{x'\beta}}{1+\mathrm{e}^{x'\beta}}\)</span><br /> On a <br /></p>
<p><span class="math inline">\(\left\{\begin{array}{l}\mathrm{Var_{\beta}[Y|X=x]}=P_{\beta}(Y=1|X=x)*(1-P_{\beta}(Y=1|X=x))\\\mathrm{E_{\beta}[Y|X=x]}=P_{\beta}(Y=1|X=x)\\\end{array}\right.\)</span> <br /></p>
<p>Ce qui implique que la variance n’est pas constante et varie selon <span class="math inline">\(x\)</span>. <br /> <br /> Pour une nouvelle mesure <span class="math inline">\(x\)</span> effectuée, le modèle log linéaire va donc prédire la valeur <span class="math inline">\(\mathrm{e}^{x'\beta}\)</span> (<span class="math inline">\(\beta\)</span> est le paramètre à estimer).<br /><br /></p>
<div id="estimation-des-parametres-par-maximum-de-vraissemblance" class="section level4">
<h4>Estimation des paramètres par maximum de vraissemblance</h4>
<p>La vraissemblance s’écrit :<br /><br /> <span class="math inline">\(L_{n}(\beta)=\prod_{i=1}^n P_{\beta}(Y=y_{i}|X=x_{i})\)</span><br /><br /> <span class="math inline">\(L_{n}(\beta)=\prod_{i=1}^n P_{\beta}(x_{i})^{y_{i}}*(1-P_{\beta}(x_{i}))^{1-y_{i}}\)</span><br /></p>
<p>La log vraissemblance s’écrit :<br /><br /> <span class="math inline">\(\mathcal{L}_{n}(\beta)=\sum_{i=1}^n \{ y_{i}*log(P_{\beta}(x_{i}))+(1-y_{i})*log(1-P_{\beta}(x_{i})) \}\)</span><br /></p>
<p>L’estimateur du maximum de vraissemblance si il existe est solution de l’équation (équation de score):<br /><br /> <span class="math inline">\(S(\beta)= \nabla\mathcal{L}_{n}(\beta)=X'(Y-P_{\beta})=0\)</span><br /></p>
<p><br /> Ces équations forment un système non linéaire en <span class="math inline">\(\beta\)</span>. Il faut utiliser des méthodes numériques (algorithme de convergene).<br /><br /></p>
</div>
<div id="algorithme-irls" class="section level4">
<h4>Algorithme IRLS</h4>
<p>L’algorithme IRLS (Iterative Reweighted Least Square), dit aussi <strong><em>méthode Newton-Raphson</em></strong>, permet de résoudre ces équations de score.<br /> Il existe aussi l’algorithme de score de <strong><em>Fisher</em></strong>, mais nous allons rester sur IRLS car c’est celui qui est implémenté sous R dans la fonction <strong><em>glm()</em></strong> (<em>method=“glm.fit”</em>).<br /></p>
L’algorithme procède par itération jusqu’à convergence :<br />
<ol>
<li>
choix du point départ <span class="math inline">\(\beta_{0}\)</span>
</li>
<li>
on calcule <span class="math inline">\(\beta^{k+1}\)</span> à partir de <span class="math inline">\(\beta^{k}\)</span>
</li>
</ol>
<p><span class="math inline">\(\beta^{k+1}=\beta^{k}+A^k\nabla\mathcal{L}_{n}(\beta^k)\)</span><br /> Où<br /> <span class="math inline">\(\nabla\mathcal{L}_{n}(\beta^k)\)</span> est le gradient au point <span class="math inline">\(\beta^{k}\)</span> et <span class="math inline">\(A^k=-(\nabla^2\mathcal{L}_{n}(\beta^k))^{-1}\)</span> est la matrice de “pas” (inverse du hessien au point <span class="math inline">\(\beta^{k}\)</span>). <br /></p>
<p>Ecriture matricielle : <br /><br /> <span class="math inline">\(\beta^{k+1} = \beta^{k}+(X'W_{\beta^k}X)^{-1}X'(Y-P_{\beta^k})\)</span><br /> Où <span class="math inline">\(W_{\beta}\)</span> est la matrice diagolane <span class="math inline">\(P_{\beta}(x_{i})*(1-P_{\beta}(x_{i}))\)</span>.<br /></p>
<p><b><u>Interprétation des coefficients <span class="math inline">\(\beta\)</span> :</u></b></p>
<p>On peut reprénsenter la fonction <span class="math inline">\(x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x'\beta}}{1+\mathrm{e}^{x'\beta}}\)</span> pour différentes valeurs de <span class="math inline">\(\beta\)</span>.<br /></p>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-5-1.png" width="672" /></p>
<p>Lorsque le <strong><em><span class="math inline">\(\beta\)</span> est faibe</em></strong> (proche de 0), on peut voir que la fonction couvre une large valeur de <span class="math inline">\(x\)</span> autour de 0.5. La <strong><em>discrimintation est difficile</em></strong>. Au contraire si le <strong><em><span class="math inline">\(\beta\)</span> est élevé</em></strong>, la zone autour de 0.5 diminue au profit des valeurs extrêmes 0 et 1, ce qui pourrait <strong><em>minimiser les erreurs de prévisions</em></strong>.<br /></p>
<p><br /> <br /> <br /></p>
</div>
</div>
</div>
<div id="partie-modelisation-rstudio" class="section level2">
<h2><strong>Partie modélisation Rstudio</strong></h2>
<p>La régression logistique sera exécutée à l’aide de la fonction <strong><em>glm {stats}</em></strong>.<br /></p>
<p>L’exécution se fera dans un premier temps sur le fichier complet afin de présenter le modèle (Utilisation d’un échantillon <strong>train/test</strong> par la suite).<br /> <br /></p>
<div id="presentation-du-modele-glm" class="section level3">
<h3>Présentation du modèle glm</h3>
<p><b><u>Le modèle :</u></b></p>
<pre class="r"><code>####
#REGRESSION LOGISTIQUE
####
#execution du modele complet:
modele.reg.log <- glm(Don_spam$spam ~ .,
family = binomial(link="logit"), data=Don_spam)
# Degrees of Freedom: 4600 Total (i.e. Null); 4543 Residual
# Null Deviance: 6170
# Residual Deviance: 1816 AIC: 1932</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>Résultat du modèle :<br /> Application du modele sur les 4601 individus et 58 colonnes (57 + constante)<br /> Le modèle nous fournit en sortie les valeurs des coefficients <span class="math inline">\(\beta\)</span> par variable.<br /> Les degrés de liberté, (n-1 pour la dimension totale et n-p-1 pour les résidus).<br /> La déviance du modèle seulement avec la constante (Null Deviance), la déviance du modèle et l’AIC.</p>
</div>
<p>Calcul de la déviance et de l’AIC d’un modèle M :<br /> <span class="math inline">\(D_{\mathcal{M}}=-2*\mathcal{L}_{n}(\beta)\)</span><br /> <span class="math inline">\(AIC(\mathcal{M})=2*p-2*\mathcal{L}_{n}(\beta)\)</span><br /></p>
<p>Revenons sur le vecteur <span class="math inline">\(\beta\)</span>, le vecteur des coefficients des descripteurs du modèle.<br /></p>
<pre class="r"><code>modele.summary<-summary(modele.reg.log)
# Coefficients:
# Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
# (Intercept) -1.569e+00 1.420e-01 -11.044 < 2e-16 ***
# wf_make -3.895e-01 2.315e-01 -1.683 0.092388 .
# wf_address -1.458e-01 6.928e-02 -2.104 0.035362 *
# wf_all 1.141e-01 1.103e-01 1.035 0.300759
# wf_3d 2.252e+00 1.507e+00 1.494 0.135168
# wf_our 5.624e-01 1.018e-01 5.524 3.31e-08 ***
# wf_over 8.830e-01 2.498e-01 3.534 0.000409 ***
# wf_remove 2.279e+00 3.328e-01 6.846 7.57e-12 ***
# ...</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>En sortie de la commande <strong><em>summary(modele.reg.log)</em></strong>, nous avons les valeurs des coefficients et les ecarts type. Nous avons également la valeur du <strong><em>test de Wald</em></strong> avec la p-value associée.</p>
</div>
<p>Enfin, le modèle glm nous fournit les valeurs prédites/estimées <span class="math inline">\(P_{\beta}(Y=y|X=x)=\frac{\mathrm{e}^{x'\beta}}{1+\mathrm{e}^{x'\beta}}\)</span><br /></p>
<pre class="r"><code>p.estime<-modele.reg.log$fitted.values
# 1 2 3 4 5 6 7 8
# 6.189824e-01 9.880333e-01 9.999977e-01 7.786119e-01 7.785570e-01 6.686157e-01 7.612542e-01 6.663679e-01 </code></pre>
<div class="commentaire">
<p><strong><em>L’objet “fitted.values”</em></strong> du modèle retourne le vecteur des probabilités d’appartenir à la classe “spam” 1 ou “non spam” 0.Cela nous permettra par la suite d’établir le taux d’erreur des “mal classés” du modèle.</p>
</div>
</div>
<div id="evaluation-du-modele" class="section level3">
<h3>Evaluation du modèle</h3>
<p>Afin de mieux comprendre les sorties du modèle <em>glm</em>, je vais détailler la partie “présentation du modèle glm”. En effet, nous allons voir qu’il existe bon nombre d’indicateurs et tests permettant d’évaluer la relation entre <span class="math inline">\(Y\)</span> et <span class="math inline">\(X\)</span>.<br /></p>
<p>Nous avons vu précedemment avec les <em>estimateurs du maximum de vraissemblance</em> et <em>l’algorithme IRLS</em> que nous obtenons un vecteur <span class="math inline">\(\beta\)</span> solution de l’équation de score <span class="math inline">\(S(\beta)=0\)</span>. Le vecteur <span class="math inline">\(\beta\)</span> nous garantit une vraissemblance maximum et donc une déviance minimum pour le modèle.<br /> <br /></p>
<div id="modele-vs-modele-trivial" class="section level4">
<h4>Modèle Vs modèle trivial</h4>
<p>Dans un premier temps, il possible d’opposer la vraissemblance du modele <span class="math inline">\(L_\mathcal{M}\)</span> et celle du modèle trivial <span class="math inline">\(L_0\)</span>. Des indicateurs existent (pseudos R²) dont le R² de Mc Fadden. Cet indicateur est analogue au R² en régression multiple et s’écrit : <br /><br /> <span class="math inline">\(R^2_{MF}=1-\frac{LL_\mathcal{M}}{LL_0} \space \left\{\begin{array}{l} Min=0 \space si \space LL_\mathcal{M} = LL_0 \space(pas \space mieux \space que \space modele \space trivial)\\ Max=1 \space si \space LL_\mathcal{M}=0 \space (modele \space parfait)\\\end{array}\right.\)</span><br /></p>
<pre class="r"><code>R2.mf = 1-(modele.reg.log$deviance/modele.reg.log$null.deviance) ; R2.mf</code></pre>
<pre><code>## [1] 0.7057179</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>On constate que le modèle “complet” (avec tous les descripteurs) se démarque déja très bien du modèle trivial.Peut-on deja conclure à une bonne discrimination du modèle ?</p>
</div>
</div>
<div id="pouvoir-discriminant-du-modele" class="section level4">
<h4>Pouvoir discriminant du modèle</h4>
<p>De façon simple, il est possible de visualiser la répartition des <span class="math inline">\(P_β\)</span> (nos estimations/prédictions).<br /></p>
<pre class="r"><code> #HISTOGRAMME GROUPE
y <- modele.reg.log$fitted.values
y2 <- Don_spam$spam
yb <- hist(y,plot=F)
yc <- tapply(y,y2,cut,breaks=yb$breaks)
tab <- do.call("rbind",lapply(yc,table))
barplot(tab,beside=T,xlab="Répartition des PI",ylab="Fréquence des PI",col=rownames(tab))
legend("top",rownames(tab),cex =0.8,fill=rownames(tab),title="Email=0 Vs Spam=1")</code></pre>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" width="672" /></p>
<div class="commentaire">
<p>La discrimination des individus semble bonne, la répartition des <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span> en fonction de la classe des individus semble également fonctionner.</p>
</div>
<p>On peut aller un peu plus loin tout en restant dans la simplicité. Les <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span> peuvent être représentés à l’aide d’un diagramme dit de fiabilité. Le diagramme de fiabilité consiste à créer des intervalles, y calculer la somme des positifs et la moyenne des scores.Dans le cas parfait, si les scores sont bien calibrés, les points sont alignés sur une droite <span class="math inline">\(y=x\)</span>.<br /></p>
<pre class="r"><code> ###Diagramme de fiabilite
breaksMean=function(Piest,Y,n)
#la moyenne de Piest et Y sur chaque intervalle.
{
h=1/n
x=Piest
cl=vector("numeric",length=n+1)
means=matrix("numeric",nrow=2,ncol=n)
#borne gauche 0
cl[1]=0
#calcul des bornes de classes
for(i in 1:n) {cl[i+1]=cl[i]+h
means[1,i]=mean(x[(x<cl[i+1])&(x>=cl[i])])
means[2,i]=mean(Y[(x<cl[i+1])&(x>=cl[i])])
}
return(means)
}
var.reponse = as.numeric(as.vector.factor(Don_spam$spam))
par(mfrow = c(2, 2))
param=c(8,10,20,50)
for(i in 1:4){
res.fiabilite = breaksMean(modele.reg.log$fitted.values,var.reponse,param[i])
#Diagramme de fiabilite
plot(res.fiabilite[1,],res.fiabilite[2,],col="blue",pch=17,type="b",main=paste("Diagramme de fiabilite",dim(res.fiabilite)[2], "classes")
,xlab="Moyennes des scores",ylab="Moyenne des '+'",xlim=c(0,1),ylim=c(0,1))
points(c(0,1),c(0,1),type="l", col="red")
}</code></pre>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" width="672" /></p>
<div class="commentaire">
<p>Plus le nombre d’intervalles augmente et moins la moyenne des scores est lissée. On peut voir que globalement, pour un nombre raisonnable d’intervalles, les points suivent la bissectrice.</p>
</div>
<p>Il existe également des tests statistiques permettant de quantifier la qualité des scores <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span>. Il existe le test d’Hosmer et celui de Mann-Whitney. Le test d’Hosmer mesure à l’aide d’un ki2 si les scores (probabilitées attendues) diffèrent des probabilitées théoriques. Le test de Mann-Whitney (basé sur les rangs) mesure si les distributions sont confondues à l’aide d’une loi normale.<br /></p>
<pre class="r"><code>library(ResourceSelection)
# il faut des eff de classes superieurs a 5
#(H0), la statistique C suit approximativement une loi du χ2 à (G − 2) (les probas attendus ne different pas des theoriques)
hosm.t = hoslem.test(var.reponse, modele.reg.log$fitted.values) ; hosm.t</code></pre>
<pre><code>##
## Hosmer and Lemeshow goodness of fit (GOF) test
##
## data: var.reponse, modele.reg.log$fitted.values
## X-squared = 1725.7, df = 8, p-value < 2.2e-16</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>Si la p-value est inférieur au seuil de risque fixé (prenons 5%), les probabilités prévues diffèrent des probabilités observées. Ici on rejette H0 car la p-value est très faible (p-value < 2.2e-16) et donc les scores diffèrent des scores attendus et le modèle n’est pas validé.</p>
</div>
<p>Essayons une autre fonction d’un autre pakage.<br /></p>
<pre class="r"><code>library(generalhoslem)
logitgof(Don_spam$spam, modele.reg.log$fitted.values, g =10, ord = FALSE)</code></pre>
<pre><code>## Warning in logitgof(Don_spam$spam, modele.reg.log$fitted.values, g = 10, :
## At least one cell in the expected frequencies table is < 1. Chi-square
## approximation may be incorrect.</code></pre>
<pre><code>##
## Hosmer and Lemeshow test (binary model)
##
## data: Don_spam$spam, modele.reg.log$fitted.values
## X-squared = 1725.7, df = 8, p-value < 2.2e-16</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>On peut donc conlcure le rejet de H0, le modèle avec ce test n’est pas validé. Le test d’Hosmer est toutefois critiqué et doit être utilisé avec “prudence”.</p>
</div>
<pre class="r"><code> hosm.t$expected</code></pre>
<pre><code>##
## cutyhat yhat0 yhat1
## [2.22e-16,2.45e-13] 4.610000e+02 2.051634e-12
## (2.45e-13,1.42e-05] 4.599993e+02 6.872967e-04
## (1.42e-05,0.00373] 4.595866e+02 4.134381e-01
## (0.00373,0.0456] 4.512903e+02 8.709656e+00
## (0.0456,0.18] 4.069927e+02 5.300730e+01
## (0.18,0.408] 3.373832e+02 1.226168e+02
## (0.408,0.83] 1.654905e+02 2.945095e+02
## (0.83,0.969] 4.140189e+01 4.185981e+02
## (0.969,0.999] 4.725877e+00 4.552741e+02
## (0.999,1] 1.296203e-01 4.598704e+02</code></pre>
<pre class="r"><code>wilcox.test(modele.reg.log$fitted.values ~ Don_spam$spam, alternative = c("two.sided"))</code></pre>
<pre><code>##
## Wilcoxon rank sum test with continuity correction
##
## data: modele.reg.log$fitted.values by Don_spam$spam
## W = 114390, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>Le test de Mann-Whitney, basé sur les rangs, nous assure avec une p-value très faible (p-value < 2.2e-16) le rejet de H0. En clair, les distributions sont décalées et donc les scores permettent de distinguer les positifs des négatifs. Ce qui vient renforcer la bonne impréssion faite par le diagramme de fiabilité et l’histogramme de répartition des <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span>.</p>
</div>
<p>Pour conclure sur ces deux tests, ils nous permettent de vérifier des hypothèses sur les <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span>.Ils ne permettent pas de conclure de la qualité de prédiction mais peuvent servir à justifier de la validité du modèle.<br /> <br /></p>
</div>
<div id="matrice-de-confusion" class="section level4">
<h4>Matrice de confusion</h4>
<p>Après avoir visualisé et analysé les scores <span class="math inline">\(P_β(x_i)\)</span>, il est temps de voir à quel point le modèle est juste ou faux. Nous allons voir à travers quelques indicateurs, la performance du modèle. <br /></p>
<pre class="r"><code># matrice confusion
score <- ifelse(predict(modele.reg.log,Don_spam,type="response") >.5, "spam","mail")
confusion.mat = table(Don_spam$spam, score)
fauxneg = confusion.mat[2,1]
fauxpos = confusion.mat[1,2]
vraisneg = confusion.mat[1,1]
vraispos = confusion.mat[2,2]
txerr = (fauxneg+fauxpos) / dim(Don_spam)[1]
sensibilite <- vraispos / (vraispos + fauxneg)
precision <- vraispos / (vraispos + fauxpos)
specificite <- vraisneg / (vraisneg + fauxpos)
confusion.mat</code></pre>
<pre><code>## score
## mail spam
## 0 2666 122
## 1 194 1619</code></pre>
<pre class="r"><code> data.frame(txerr,sensibilite, precision, specificite)</code></pre>
<pre><code>## txerr sensibilite precision specificite
## 1 0.06868072 0.892995 0.9299253 0.956241</code></pre>
<div class="commentaire">
La matrice de confusion permet d’avoir un “état” du modèle à travers quelques indicateurs :<br />
<ul>
<li>
la sensibilité ou le rappel nous indique la capacité à trouver les vrais positifs.
<li>
la précision est la proportion de vrais positifs parmis les positifs.
<li>
la spécificité est la proportion de négatifs detectés.
<li>
le taux d’erreur global est l’ensemble des mals classés.
</ul>
<p>Pour ce modèle, comprenant tous les descripteurs, nous obtenons un taux d’erreur de <strong>6.87 %</strong> (les mals classés).</p>
</div>
</div>
<div id="courbe-roc" class="section level4">
<h4>Courbe ROC</h4>
<p>La courbe ROC représente la sensibilité (taux de vrais positifs) en fonction de la spécificité (taux de faux positifs) quand on fait varier le seuil ‘s’ (les valeurs des scores). Dans le meilleur des cas (classifieur parfait), la courbe passe par les points (0, 0) à (0, 1) à (1, 1). Si le classifieur s’avère pas mieux que de l’aléatoire, les points sont une bissectrice (0, 0) à (1, 1).<br /></p>
<pre class="r"><code> library(ROCR)
pred=prediction(modele.reg.log$fitted.values,Don_spam$spam)
perf=performance(pred,"tpr", "fpr")
auc_ROCR <- performance(pred, measure = "auc")
auc_ROCR <- round([email protected][[1]],3)
plot(perf,colorize = TRUE) </code></pre>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-19-1.png" width="672" /></p>
<div class="commentaire">
<p>Pour cet exemple, la courbe ROC décrit un classifieur presque parfait (AUC=0.977), n’oublions pas que nous utilisons le même fichier pour l’apprentissage et le test. Nous sommes dans un cas de surapprentissage.</p>
</div>
</div>
<div id="tests-des-coefficients" class="section level4">
<h4>Tests des coéfficients</h4>
<p>Maintenant que nous avons évalué le modèle dans sa globlité, revenons sur le comportement asymptotique de l’estimateur du maximum de vraisemblance <span class="math inline">\(\hat \beta\)</span>. <br /></p>
<p><b><u>Loi asymptotique :</u></b></p>
<p> <span class="math inline">\(\sqrt n(\hat \beta-\beta)\xrightarrow{{\mathcal{L}}}N(0, \mathcal{I(\beta)^{-1}})\)</span><br /></p>
<p> <span class="math inline">\(\mathcal{I}(\beta)\)</span> la marice d’information de Fisher au point <span class="math inline">\(\beta\)</span>.<br /></p>
<p>On en déduit : <br /></p>
<p> <span class="math inline">\((\hat \beta-\beta)'n\mathcal{I(\beta)^{-1}}(\hat \beta-\beta)\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_{p+1}\)</span></p>
<p>Par convergence (<span class="math inline">\(\hat\beta\)</span> converge faiblement vers <span class="math inline">\(\beta\)</span>) de l’estimateur, on peut écrire :<br /></p>
<p> <span class="math inline">\((\hat \beta-\beta)'\hat\Sigma^{-1}(\hat \beta-\beta)\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_{p+1}\)</span> <br /></p>
<p>avec <span class="math inline">\(\hat\Sigma^{-1}=(X'W_\hat\beta X)^{-1}\)</span> inverse de la matrice hessienne. <br /></p>
<p> Où <span class="math inline">\(W_{\hat \beta}\)</span> est la matrice diagolane <span class="math inline">\(P_{\beta}(x_{i})*(1-P_{\beta}(x_{i}))\)</span> <br /></p>
<ul>
<li>
Le test de Wald.
<li>
Le test du rapport de vraissemblance (ou déviance).
<li>
Le test du score.
</ul>
<p>On formule les hypothèses : <br /></p>
<p> <span class="math inline">\(H_0:\beta_{j1}=\beta_{j2}=...=\beta_{jq}=0 \space contre \space H_1:\exists k \in \{1,2,...,q\}:\beta_{jk}\neq 0\)</span></p>
<p><b><u>Test de Wald :</u></b> <br /></p>
<p>On note <span class="math inline">\(\beta_{0,...,q-1}\)</span> le vecteur des q premières composantes de <span class="math inline">\(\beta\)</span>. <br /> Sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>, on a :</p>
<p> <span class="math inline">\(\beta'_{0,...,q-1} \hat\Sigma^{-1}_{0,...,q-1}\beta_{0,...,q-1}\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_q\)</span></p>
<p><b><u>Test du rapport de vraissemblance :</u></b> <br /></p>
<p>Le test est basé sur la différence du rapport de vraissemblance entre le modèle et le modèle sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>. <br /> Sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>, on a :</p>
<p> <span class="math inline">\(2(\mathcal{L}_{n}(\hat\beta)-\mathcal{L}_{n}(\hat\beta_{H_0}))\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_{q}\)</span></p>
<p><b><u>Test du score :</u></b> <br /></p>
<p>Le test vérifie, sous <span class="math inline">\(H_0\)</span> si la fonction de score (gradient de la log-vraisemblance) est proche de 0. <br /></p>
<p>Sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>, on a :</p>
<p> <span class="math inline">\(S(\hat \beta_0)'\hat\Sigma^{-1}_{H_0}S(\hat \beta_0)\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_{q}\)</span><br /></p>
<p><br /></p>
</div>
<div id="test-de-wald" class="section level4">
<h4>Test de Wald</h4>
<p>Le test de Wald est le test qui est implémenté dans la fonction <em>glm {stats}</em>. Contrairement aux deux autres tests, le test de Wald n’a besoin que de la matrice hessienne généré lors de l’obtention du modèle. Il n’a pas besoin de comparer des sous modèles (sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>) et permet donc une execution plus rapide. Neammoins, le test de Wald est plus conservateur et favorise l’hypothèse nulle <span class="math inline">\(H_0\)</span>. L’estimateur repose sur des propriétés asymptotiques et peut s’avérer peut précis sur des petits effectifs. <br /></p>
<p><b><u>Application du test de Wald :</u></b> <br /></p>
<p>L’hypothèse de test pour le modèle (un test de nullité pour chaque variable) : <br /></p>
<p><span class="math inline">\(H_0:\beta_{j}=0 \space contre \space H_1:\beta_{j}\neq 0\)</span><br /></p>
<p>Sous <span class="math inline">\(H_0\)</span>, la statistique de test s’écrit : <br /></p>
<p> <span class="math inline">\(W(j)=\hat a'(j)\hat\Sigma^{-1}_{j}\hat a(j)\xrightarrow{{\mathcal{L}}}\chi^2_{1}\)</span><br /></p>
<p>ou</p>
<p> <span class="math inline">\(Z_j=signe(a'(j))*\sqrt W_j\sim N(0,1)\)</span> (implémenté de cette manière dans <em>glm {stats}</em>).<br /></p>
<p>A partir de la matrice hessienne du modèle, vérifions les p-value : <br /></p>
<pre class="r"><code> #test de wald :
V=diag(modele.reg.log$fitted.values*(1-modele.reg.log$fitted.values)) #diagonale des poids
const=rep(1,4601)
X=data.matrix( data.frame(const,Don_spam[,-58]) )
H = t(X) %*% V %*% X ; #matrice hessienne H p*p
inverse.h = solve(H)
modele.reg.log$coefficients[1:4]</code></pre>
<pre><code>## (Intercept) wf_make wf_address wf_all
## -1.5686144 -0.3895185 -0.1457768 0.1141402</code></pre>
<pre class="r"><code> #prenons wf_make wf_address wf_all
coef=modele.reg.log$coefficients[2:4]
var.cov=inverse.h[2:4,2:4]
z.vect=(coef^2)/diag(var.cov)
pval.wald=c()
#resultat du test khi2
for(i in 1:length(coef)){
pval.wald[i] = 1- pchisq(z.vect[i],1)
}
#R est implémenté avec le test sur N(0,1)
z.vect=abs(coef/sqrt(diag(var.cov)))
pval.norm=c()
#resultat du test N(0,1)
for(i in 1:length(coef)){
pval.norm[i] = 2*(1- pnorm(z.vect[i],0,1))
}
pval.wald ; pval.norm </code></pre>
<pre><code>## [1] 0.09238803 0.03536189 0.30075971</code></pre>
<pre><code>## [1] 0.09238803 0.03536189 0.30075971</code></pre>
<pre class="r"><code> summary(modele.reg.log)[["coefficients"]][,4][2:4]</code></pre>
<pre><code>## wf_make wf_address wf_all
## 0.09238799 0.03536157 0.30075945</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>Nous retrouvons bien à partir de la matrice hessienne du modèle les p-value pour les variables <em>wf_make wf_address wf_all</em> avec un test du <span class="math inline">\(\chi^2\)</span> ou <span class="math inline">\(N(0,1)\)</span>. Avec un seuil à 5%, seule <em>wf_address</em> serait retenue et signifiative.</p>
</div>
</div>
<div id="distance-de-cook" class="section level4">
<h4>Distance de Cook</h4>
<p>Cette partie résumera les notions de résidu, points leviers et points influents. En effet, nous avons vu precedemment quels étaient les descripteurs les plus significatifs. Interessons nous maintenant à l’analyse des individus. <br /></p>
<p>Par simplicité d’écriture, nous noterons <span class="math inline">\(p_i=p_\beta(x_i)\)</span> <br /></p>
<p>C’est à travers la notion de <em>résidu</em> que l’analyse des individus peut se faire. Il existe plusieurs sortes de résidus, le plus simple étant <span class="math inline">\(Y-\hat p_i\)</span> (résidus bruts). Concernant la distance de Cook, nous aurons besoin d’utiliser les <em>résidus de Pearson</em>. <br /></p>
<p><b><u>Résidus de Pearson :</u></b> <br /></p>
<p> <span class="math inline">\(RP_i=\frac{Y_i-\hat p_i}{\sqrt{\hat p_i(1-\hat p_i)}}\)</span> <br /></p>
<p><span class="math inline">\(RP_i\)</span> peut prendre des valeurs négatives élevées dans le cas de faux positifs et des valeurs positives élevées dans le cas de faux négatifs.</p>
<pre class="r"><code>library(ggplot2)
modele.influence=influence(modele.reg.log)
pi=modele.reg.log$fitted.values
pear.res=modele.influence$pear.res
ggplot(Don_spam, aes(x=pi, y=pear.res, color=score) ) +
geom_point(size = 2, aes(shape = Don_spam$spam))+ylim(-10, 10) +
geom_hline(yintercept=c(-2,2), linetype="dashed", color = "red") +
ggtitle("Résidus de Pearson") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))</code></pre>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-21-1.png" width="672" /></p>
<div class="commentaire">
<p>On constate bien les valeurs extrêmes des <span class="math inline">\(RP_i\)</span>, pour les faux négatifs (<span class="math inline">\(p_i\)</span> faibles pour <span class="math inline">\(Y=1\)</span>) et les faux positifs (<span class="math inline">\(p_i\)</span> fortes pour <span class="math inline">\(Y=0\)</span>).</p>
</div>
<p><b><u>Points leviers :</u></b> <br /></p>
<p>Le levier d’une obervation <span class="math inline">\(x_i\)</span> compare l’écart entre l’observation et les autres observations. Cette mesure permet de détecter un point comme étant atypique. La mesure du levier est défini à partir de la <em>hat matrice</em> ou <em>matrice de projection</em>. <br /></p>
<p> Matrice de projection :<br /></p>
<p> <span class="math inline">\(H=X(X'W_\hat\beta X)^{-1})X'W_\hat\beta\)</span><br /></p>
<p>Où <span class="math inline">\(W_{\beta}\)</span> est la matrice diagolane <span class="math inline">\(P_{\beta}(x_{i})*(1-P_{\beta}(x_{i}))\)</span>.<br /></p>
<p>Pour une observation <span class="math inline">\(x_i\)</span>, le levier est lu sur la diagonale (<span class="math inline">\(H_{ii}\)</span>).Le levier mesure également l’influence globale d’un point sur la prédiction des valeurs <span class="math inline">\(\hat p_i\)</span>. Cette influence est l’influence globale du point <span class="math inline">\(x_i\)</span> sur la prédiction des valeurs de tout autre point <span class="math inline">\(x'_i\)</span>. <br /></p>
<p><b><u>Points influents :</u></b> <br /></p>
<p>Un point est dit influent si il influe sur la valeur des coefficients <span class="math inline">\(\beta\)</span>. Cette mesure est possible à condition de calculer la distance entre un coefficient estimé avec toutes les observations et un coefficient mesuré avec toutes les observations sauf une. Une mesure courante de cette influence est <strong><em>la distance de Cook</em></strong>.<br /></p>
<p><b><u>Distance de Cook :</u></b> <br /></p>
<p> La distance de Cook pour un individu s’écrit : <br /></p>
<p> <span class="math inline">\(D_i=\frac{1}{p}(\hat \beta_i - \hat \beta)'X'W_{\hat \beta}X(\hat \beta_i - \hat \beta)\approx \frac{rp^2_i*H_{ii}}{p(1-H_{ii})}\)</span><br /></p>
<p>Avec</p>
<p> <span class="math inline">\(p=\sum_iH_{ii}\)</span> et <span class="math inline">\(rp_i^2\)</span> le résidus de Pearson au carré.<br /></p>
<p>Dans la première partie du calcul de la distance de Cook, il nous faut calculer n sous modèles. Ce n’est pas très bon en terme d’optimisation et c’est pour cela que le <em>levier</em> intervient <span class="math inline">\(D_i\approx \frac{rp^2_i*H_{ii}}{p(1-H_{ii})}\)</span>. <br /></p>
<p>Il existe un seuil, qui s’écrit :<br /></p>
<p> <span class="math inline">\(D_i>\frac{4}{n-p-1}\)</span> avec <span class="math inline">\(n\)</span> le nombre d’observations et <span class="math inline">\(p=p+1\)</span> variables.<br /></p>
<pre class="r"><code> p=sum(modele.influence$hat) # p=p+1
seuil.cook = 4 / (dim(Don_spam)[1] - p) #4/(p+1-1) = 0.0008804755
individus.spam = rownames(Don_spam)
library(gridExtra)
x=1:4601 ; y.cook=as.vector(cooks.distance(modele.reg.log)) ; classe=Don_spam$spam
gg.cook = ggplot(Don_spam, aes(x=x, y=y.cook, fill = classe, colour=classe) ) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text( aes(label = ifelse(as.vector(cooks.distance(modele.reg.log)) > 50*seuil.cook, individus.spam, ""))) +
geom_hline(yintercept=seuil.cook, linetype="dashed", color = "red") +
geom_text(aes( 0, seuil.cook, label = round(seuil.cook,digits=3), vjust = -1), size = 4)+
ggtitle("Di de Cook gobal") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))#pb d'echelle sans ylim
#remise à l'échelle
gg.cook.detail = ggplot(Don_spam, aes(x=x, y=y.cook, fill = classe, colour=classe) ) +
geom_bar(stat = "identity") +
geom_text( aes(label = ifelse(as.vector(cooks.distance(modele.reg.log)) > 50*seuil.cook, individus.spam, ""))) +
geom_hline(yintercept=seuil.cook, linetype="dashed", color = "red") +
geom_text(aes( 0, seuil.cook, label = round(seuil.cook,digits=3), vjust = -1), size = 4) +
coord_cartesian(ylim=c(0,0.009))+
ggtitle("Di de Cook détail") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))#pb d'echelle sans ylim
grid.arrange(gg.cook, gg.cook.detail, ncol=2, nrow = 1)</code></pre>
<p><img src="reg_log_spam_files/figure-html/unnamed-chunk-22-1.png" width="960" /></p>
<pre class="r"><code> #comptage du nombre d'individus hors seuil
hors.seuil.cook = y.cook[which(y.cook > seuil.cook)] #valeurs decroissantes des individus leviers
length(hors.seuil.cook) #209 individus </code></pre>
<pre><code>## [1] 209</code></pre>
<div class="commentaire">
<p>Sur le graphique de gauche, le seuil parait infime, mais c’est parce que nous avons des valeurs extremes du <span class="math inline">\(D_i\)</span> de Cook. Le graphique de droite, avec une échelle ajustée, permet de voir qu’il y a de nombreux individus hors seuils. Cependant cela ne représente que 209 individus, soit 4.5% des individus au total.</p>
</div>
<p>Je n’ai pas refait ici un modèle sans les individus hors seuil de cook mais cela améliore de façon significative le taux d’erreur (mals classés) sur le train. <br /></p>
<p>Cette partie “Evaluation du modèle” est terminée, maintenant que nous connaissons mieux la nature du modèle de <em>régression logistique</em>, nous allons pouvoir appliquer des données “test” pour la prédiction.<br /></p>
<p><br /></p>
</div>
</div>
<div id="application-sur-echantillon-test" class="section level3">
<h3>Application sur échantillon TEST</h3>
<p>Cette partie est consacrée à la <strong><em>prédiction</em></strong>, pour cela nous allons créer un échantillon d’apprentissage et un échantillon test(individus à prédire). Pour rappel le fichier “spam” est composé de 4601 individus et 57 descripteurs ainsi que la variable classifiante binaire (“spam” : 1 “mail” : 0).<br /></p>
<p>Dans cette partie, nous allons uniquement nous concentrer sur le “taux d’erreur global” (les mals classés fauxpos+fauxneg/n). Egalement cette partie aura pour objectif de comparer le taux d’erreur d’un modèle complet (toutes les variables), d’un modèle sans les individus “hors seuils de Cook” et d’un modèle avec sélection automatique de variables (<em>stepAic</em>). <br /></p>
<p>Nous allons répeter l’expérience et génerer 100 échantillons d’apprentissage et 100 échantillons test. A chaque itération, les individus servant à costruire l’échantillon d’apprentissage ne se retrouve pas dans l’échantillon test et inversement.<br /></p>
<p>La procédure <em>stepAIC {MASS}</em> étant longue à éxecuter, l’expérience se fera sur 10 éssais.<br /></p>
<p><b><u>Modèle complet :</u></b> <br /></p>
<p>Création d’un modèle à partir de tous les descripteurs et application sur échantillon test.<br /></p>
<p><b><u>Modèle hors seuils de Cook :</u></b> <br /></p>
<p>C’est à partir du modèle complet qu’il est possible de calculer les <span class="math inline">\(D_i\)</span> de Cook pour ensuite enlever les individus hors seuils (<span class="math inline">\(D_i>\frac{4}{n-p-1}\)</span>). Nous appliquons ensuite l’échantillon test sur ce modèle privé des individus hors seuils.<br /></p>
<p><b><u>Modèle stepAic :</u></b> <br /></p>
<p>Tout d’abord la procédure <em>stepAIC {MASS}</em> permet, de façon automatique, de sélectionner les descripteurs du modèle. C’est également à partir des résultats d’un premier modèle (objet <em>glm()</em> en paramètre) que la procedure stepAic peut être utilisée. Pour résumer, la procédure stepAic utilise une méthode de sélection de variables (ici de type “both”) et cherche à minimiser l’AIC du modèle. En sortie nous avons donc un modèle de type <em>glm</em>, comprenant uniquement les descripteurs minimisant le critère AIC (en général <span class="math inline">\(p_{aic}<p\)</span>, avec p descripteurs au départ). <br /></p>
<p>Nous allons donc comparer les 3 modèles à travers les taux d’erreur sur les échantillons test. <br /></p>
<p>⚠⚠⚠<br /> Attention aux modèles abérrants ! <br /></p>
<p>En effet, pour certains échantillons d’apprentissage, nous pouvons obtenir : <br /></p>
<ol>
<li>
Une déviance plus élevée que la déviance du modèle trivial (avec des valeurs pour les coéfficients de l’ordre de 10^14 ou même à <code>NA</code>) sur le modèle par défaut.
<li>
Le modèle sans les individus hors seuil de Cook peut devenir abérrant pour les mêmes raisons (peut devenir abérrant même à partir d’une modèle non abérrant).
</ol>
<p>Ces modèles abérrants sont écartés de l’analyse. En moyenne, cela impacte significativement le taux d’erreur des modèles hors seuil de Cook.<br /></p>
<p>⚠⚠⚠<br /></p>
<p><b><u>Comportements moyens des modèles :</u></b> <br /></p>
<pre class="r"><code> seed=1423
mat.verif=c();mat.verif.cook=c()
tx_err.cook=c();tx_err=c()
for(i in 1:100){
#initialisation du seed
set.seed(seed+i)
#generation de l'echantillon TRAIN
#rappel proportion au global "email 61%" "spam 39%"
trainIndex <- sample(index, trunc(length(index) * 0.666666666666667))
DATASET.train <- Don_spam[trainIndex, ]
#generation de l'echantillon TEST
DATASET.test <- Don_spam[-trainIndex, ]
#####
#REGRESSION SUR TOUTES LES VARIABLES
#####
##TRAIN
modele.defaut = glm(DATASET.train$spam ~ .,
family = binomial(link="logit"), data=DATASET.train)
####
# controle du modèle
####
# valeurs NA dans les coeff
# modele.defaut$coefficients ; is.na(modele.defaut$coefficients)
iter.na=0
if(anyNA(modele.defaut$coefficients)){ # NA {base}
iter.na = seed+i
}
# deviance residuelle > deviance modèle trivial
iter.bug.dev=0
if(modele.defaut$deviance >= modele.defaut$null.deviance){
iter.bug.dev = seed+i
}
####
# les seed à éliminer
####
if(iter.na > 0 || iter.bug.dev > 0){
mat.verif = rbind(mat.verif, c(iter.na, iter.bug.dev))
}
####
# si pas de NA dans les coeff et pas de deviance aberante
####
else {
# 1 - prediction sur le test a partir du modèle
pred.test = ifelse(predict(modele.defaut,DATASET.test,type="response") >.5, 1,0)
#cbind(predict(modele.defaut,DATASET.test,type="response"), pred.test) pour controle
confusion.mat = table(DATASET.test$spam, pred.test)
tx_err[i] = (( confusion.mat[1,2] + confusion.mat[2,1] ) /
dim(DATASET.test)[1] )*100
# 2 - Traitement des individus hors seuils cook