$2141,$2939

Author: robot

Diff for: problems/2141.maximum-running-time-of-n-computers.md

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+## 题目地址(2141. 同时运行 N 台电脑的最长时间 - 力扣（LeetCode）)
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+https://leetcode.cn/problems/maximum-running-time-of-n-computers/?utm_source=LCUS&utm_medium=ip_redirect&utm_campaign=transfer2china
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+## 题目描述
+
+<p>你有&nbsp;<code>n</code>&nbsp;台电脑。给你整数&nbsp;<code>n</code>&nbsp;和一个下标从 <strong>0</strong>&nbsp;开始的整数数组&nbsp;<code>batteries</code>&nbsp;，其中第&nbsp;<code>i</code>&nbsp;个电池可以让一台电脑 <strong>运行&nbsp;</strong><code>batteries[i]</code>&nbsp;分钟。你想使用这些电池让&nbsp;<strong>全部</strong>&nbsp;<code>n</code>&nbsp;台电脑 <b>同时</b>&nbsp;运行。</p>
+
+<p>一开始，你可以给每台电脑连接 <strong>至多一个电池</strong>&nbsp;。然后在任意整数时刻，你都可以将一台电脑与它的电池断开连接，并连接另一个电池，你可以进行这个操作 <strong>任意次</strong>&nbsp;。新连接的电池可以是一个全新的电池，也可以是别的电脑用过的电池。断开连接和连接新的电池不会花费任何时间。</p>
+
+<p>注意，你不能给电池充电。</p>
+
+<p>请你返回你可以让 <code>n</code>&nbsp;台电脑同时运行的 <strong>最长</strong>&nbsp;分钟数。</p>
+
+<p>&nbsp;</p>
+
+<p><strong>示例 1：</strong></p>
+
+<p><img alt="" src="https://assets.leetcode.com/uploads/2022/01/06/example1-fit.png" style="width: 762px; height: 150px;"></p>
+
+<pre><b>输入：</b>n = 2, batteries = [3,3,3]
+<b>输出：</b>4
+<b>解释：</b>
+一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 1 连接。
+2 分钟后，将第二台电脑与电池 1 断开连接，并连接电池 2 。注意，电池 0 还可以供电 1 分钟。
+在第 3 分钟结尾，你需要将第一台电脑与电池 0 断开连接，然后连接电池 1 。
+在第 4 分钟结尾，电池 1 也被耗尽，第一台电脑无法继续运行。
+我们最多能同时让两台电脑同时运行 4 分钟，所以我们返回 4 。
+</pre>
+
+<p><strong>示例 2：</strong></p>
+
+<p><img alt="" src="https://assets.leetcode.com/uploads/2022/01/06/example2.png" style="width: 629px; height: 150px;"></p>
+
+<pre><b>输入：</b>n = 2, batteries = [1,1,1,1]
+<b>输出：</b>2
+<b>解释：</b>
+一开始，将第一台电脑与电池 0 连接，第二台电脑与电池 2 连接。
+一分钟后，电池 0 和电池 2 同时耗尽，所以你需要将它们断开连接，并将电池 1 和第一台电脑连接，电池 3 和第二台电脑连接。
+1 分钟后，电池 1 和电池 3 也耗尽了，所以两台电脑都无法继续运行。
+我们最多能让两台电脑同时运行 2 分钟，所以我们返回 2 。
+</pre>
+
+<p>&nbsp;</p>
+
+<p><strong>提示：</strong></p>
+
+<ul>
+	<li><code>1 &lt;= n &lt;= batteries.length &lt;= 10<sup>5</sup></code></li>
+	<li><code>1 &lt;= batteries[i] &lt;= 10<sup>9</sup></code></li>
+</ul>
+
+## 前置知识
+
+- 二分
+
+## 公司
+
+- 暂无
+
+## 思路
+
+我们可以将时间作为横坐标，电脑作为纵坐标，直观地用图来描述电池的分配情况。这位博主画了一个图，很直观，我直接借用了
+
+![](https://p.ipic.vip/oup1k5.png)
+
+题目给的例子 n = 2, batteries = [3,3,3] 很有启发。如果先将电池 0 和 电池 1 给两个电脑，然后剩下一个电池不能同时给两个电脑分配，因此这种分配不行。
+
+那么具体如何分配呢？ 我们其实不用关心，因为题目不需要给出具体的分配方案。而是给出具体的使用时间即可。
+
+需要注意的是，只要电量够，那么一定可以找到一种分配方法。
+
+电量够指的是：
+
+- 对于一个电池，如果其电量大于 t，那么只能用 t。因为一个电池同时只能给一个电脑供电。
+- 对于一个电池，如果其电量小于等于 t，那么我们可以全部用掉。
+
+合起来就是：sum([min(t, battery) for battery in batteries])
+
+如果合起来大于等于需要的电量（这里是 n \* t），那么就一定可以有一种分配方案，使得能够运行 t 分钟。
+
+如何证明一定可以找到这种办法呢？
+
+对于 [3, 3, 3] n = 2 这个例子，我们可以调整最后 1 分钟的电池分配情况使得不重叠（不重叠指的是不存在一个电池需要同时给两个电脑供电的情况）。
+
+那么如何调整？实际上只要任意和前面电池的 1 分钟进行交换，两个不重叠就好。
+
+可以证明如果电池电量小于总运行时间 t，我们一定可以进行交换使得不重叠。如果大于 t，由于我们最多只能用到 t，因此 t 的部分能够交换不重叠， 而超过 t 的部分根本用不到，不用考虑。
+
+大家也可以反着想。 **如果不存在**一种交换方式使得不重叠。那么说明至少有一个电池的运行时间大于 t，这与题目矛盾。（因为运行 t 时间， 电池不同给多个电脑供电，也就是说电池最多消耗 t 的电量）大家可以结合前面的图来进行理解。
+
+## 关键点
+
+- 证明总的可用电池大于等于总的分钟数是充要条件
+
+## 代码
+
+- 语言支持：Python3
+
+Python3 Code:
+
+```python
+
+class Solution:
+    def maxRunTime(self, n: int, batteries: List[int]) -> int:
+        def can(k):
+            return sum([min(k, battery) for battery in batteries]) >= n * k
+        l, r = 0, sum(batteries)
+        while l <= r:
+            mid = (l + r) // 2
+            if can(mid):
+                l = mid + 1
+            else:
+                r = mid - 1
+        return r
+
+```
+
+**复杂度分析**
+
+令 n 为数组长度，C 为 batteries 数组的 n 项和。
+
+- 时间复杂度：$O(nlogC)$
+- 空间复杂度：$O(1)$
+
+> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。
+
+力扣的小伙伴可以[关注我](https://leetcode-cn.com/u/fe-lucifer/)，这样就会第一时间收到我的动态啦~
+
+以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
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+关注公众号力扣加加，努力用清晰直白的语言还原解题思路，并且有大量图解，手把手教你识别套路，高效刷题。
+
+![](https://p.ipic.vip/h9nm77.jpg)

Diff for: problems/2939.maximum-xor-product.md

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+## 题目地址(2939. 最大异或乘积 - 力扣（LeetCode）)
+
+https://leetcode.cn/problems/maximum-xor-product/
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+## 题目描述
+
+<p>给你三个整数&nbsp;<code>a</code>&nbsp;，<code>b</code>&nbsp;和&nbsp;<code>n</code>&nbsp;，请你返回&nbsp;<code>(a XOR x) * (b XOR x)</code>&nbsp;的&nbsp;<strong>最大值</strong>&nbsp;且 <code>x</code>&nbsp;需要满足 <code>0 &lt;= x &lt; 2<sup>n</sup></code>。</p>
+
+<p>由于答案可能会很大，返回它对&nbsp;<code>10<sup>9 </sup>+ 7</code>&nbsp;<strong>取余</strong>&nbsp;后的结果。</p>
+
+<p><strong>注意</strong>，<code>XOR</code>&nbsp;是按位异或操作。</p>
+
+<p>&nbsp;</p>
+
+<p><strong class="example">示例 1：</strong></p>
+
+<pre><b>输入：</b>a = 12, b = 5, n = 4
+<b>输出：</b>98
+<b>解释：</b>当 x = 2 时，(a XOR x) = 14 且 (b XOR x) = 7 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 98 。
+98 是所有满足 0 &lt;= x &lt; 2<sup>n </sup>中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。
+</pre>
+
+<p><strong class="example">示例 2：</strong></p>
+
+<pre><b>输入：</b>a = 6, b = 7 , n = 5
+<b>输出：</b>930
+<b>解释：</b>当 x = 25 时，(a XOR x) = 31 且 (b XOR x) = 30 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 930 。
+930 是所有满足 0 &lt;= x &lt; 2<sup>n </sup>中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。</pre>
+
+<p><strong class="example">示例 3：</strong></p>
+
+<pre><b>输入：</b>a = 1, b = 6, n = 3
+<b>输出：</b>12
+<b>解释： </b>当 x = 5 时，(a XOR x) = 4 且 (b XOR x) = 3 。所以，(a XOR x) * (b XOR x) = 12 。
+12 是所有满足 0 &lt;= x &lt; 2<sup>n </sup>中 (a XOR x) * (b XOR x) 的最大值。
+</pre>
+
+<p>&nbsp;</p>
+
+<p><strong>提示：</strong></p>
+
+<ul>
+	<li><code>0 &lt;= a, b &lt; 2<sup>50</sup></code></li>
+	<li><code>0 &lt;= n &lt;= 50</code></li>
+</ul>
+
+
+## 前置知识
+
+- 位运算
+
+## 公司
+
+- 暂无
+
+## 思路
+
+题目是求 a xor x 和 b xor x 的乘积最大。x 的取值范围是 0 <= x < 2^n。为了方便这里我们 a xor x 记做 axorx，b xor x 记做 bxorx，
+
+首先我们要注意。对于除了低 n 位，其他位不受 x 异或影响。因为 x 除了低 n 可能不是 1，其他位都是 0。而 0 与任何数异或还是自身，不会改变。
+
+因此我们能改的只是低 n 位。那么 x 的低 n 位具体去多少才可以呢？
+
+朴素地枚举每一位上是 0 还是 1 的时间复杂度是 $2^n$，无法通过。
+
+我们不妨逐位考虑。对于每一位：
+
+- 如果 a 和 b 在当前位相同， 那么 x 只要和其取相反的就行，异或答案就是 1。
+- 如果 a 和 b 在当前位不同， 那么 axorx 在当前位的值与bxorx 在当前位的值吧必然一个是 0 一个是 1，那么让哪个是 1，哪个是 0 才能使得乘积最大么？
+
+根据初中的知识，对于和相同的两个数，两者数相差的越小乘积越大。因此我们的策略就是 axorx 和 bxorx 哪个小就让他大一点，这样可以使得两者差更小。
+
+那么没有最终计算出来 axorx 和 bxorx，怎么提前知道哪个大哪个小呢？其实我们可以从高位往低位遍历，这样不用具体算出来 axorx 和 bxorx 也能知道大小关系啦。
+
+
+## 关键点
+
+- 除了低 n 位，其他不受 x 异或影响
+- 对于每一位，贪心地使得异或结果为 1， 如果不能，贪心地使较小的异或结果为 1
+
+## Code
+
+- 语言支持：Python3
+
+Python3 Code:
+
+```python
+
+class Solution:
+    def maximumXorProduct(self, a: int, b: int, n: int) -> int:
+        axorx = (a >> n) << n # 低 n 位去掉，剩下的前 m 位就是答案中的 axorb 二进制位。剩下要做的是确定低 n 位具体是多少
+        bxorx = (b >> n) << n
+        MOD = 10 ** 9 + 7
+        for i in range(n-1, -1, -1):
+            t1 = a >> i & 1
+            t2 = b >> i & 1
+            if t1 == t2:
+                axorx |= 1 << i
+                bxorx |= 1 << i
+            else:
+                if axorx < bxorx:
+                    axorx |= 1 << i # 和一定，两者相差越小，乘积越大 
+                else:
+                    bxorx |= 1 << i
+        axorx %= MOD
+        bxorx %= MOD
+        return (axorx * bxorx) % MOD
+
+```
+
+
+**复杂度分析**
+
+
+- 时间复杂度：$O(n)$
+- 空间复杂度：$O(1)$
+
+
+
+
+> 此题解由 [力扣刷题插件](https://leetcode-pp.github.io/leetcode-cheat/?tab=solution-template) 自动生成。 
+
+力扣的小伙伴可以[关注我](https://leetcode-cn.com/u/fe-lucifer/)，这样就会第一时间收到我的动态啦~
+
+以上就是本文的全部内容了。大家对此有何看法，欢迎给我留言，我有时间都会一一查看回答。更多算法套路可以访问我的 LeetCode 题解仓库：https://github.com/azl397985856/leetcode 。 目前已经 40K star 啦。大家也可以关注我的公众号《力扣加加》带你啃下算法这块硬骨头。
+
+关注公众号力扣加加，努力用清晰直白的语言还原解题思路，并且有大量图解，手把手教你识别套路，高效刷题。
+
+![](https://p.ipic.vip/h9nm77.jpg)