Vino parabeli

[wedrawde]

Moi,

Halusin vinon parabelin jotta oppilaat saa pohtia onko vain muotoa
y = ax^2 + bx + c tai x = ay^2 + by + c parabeli.

Yksi tapa tehdä vino parabeli on kiertää parabeli,
mutta napakoordinaatisto muunnosyhtälöryhmä
meni Jan Cederbergin nykyisten lukiolaisille liian vaikeaksi
tai paremmin matriisilaskulla hoituvaksi.

Itse opin pistetulon 16 vuotiaana ja osasin sen avulla johtaa

cos(B-A) = cosAcosB + sinAsinB

josta koska sin(-A) = - sinA ja cosA = cos(-A)

cos(A+B) = cos(B-(-A)) = cos(A+B) = cosAcosB + sin(-A)sinB = cosAcosB - sinAsinB

joten olisin suonut lukiolaisillekin ylimääräisen tehtävän jossa kierretään parabeli.

Mutta tuossa generoin erilaisen tehtävän jossa ei tarvi hirveästi edes rasittaa
itseään laskennalla.

Tehtävä:

Määritä ne pisteet jotka ovat yhtä kaukana pisteestä

$\left(-\frac{4}{5},\frac{3}{5}\right)$

ja suorasta

$3\cdot y-4\cdot x+5\space =0$

vihje laita etäisyys pisteestä neliöön ja aseta yhtä suureksi kuin
pisteen etäisyys suorasta neliöön :

$\left(x+\frac{4}{5}\right)^2+\left(y-\frac{3}{5}\right)^2=\left(\frac{3\cdot y-4\cdot x+5}{5}\right)^2$

$ \Leftrightarrow $ { sievenee muotoon }
$9\cdot x^2+16\cdot y^2+24\cdot x\cdot y+80x-60y=0$

https://www.desmos.com/calculator/ylhksmccuz

Haluan että oppivat paraabelin määritelmän ja käsitteet ohjaussuora, symmetriaakslei ja polttopiste.

geogebralla näitä on helppo tehdä.

[jannecederberg]

Olen sitä mieltä, että asian voisi tarjota esim. jossain "haastavia
lisätehtäviä" -osassa, mutta perustehtävien joukkoon en laittaisi
henk.koht. Mutta tietysti asiasta voidaan keskustella ja esittää näkemyksiä
ja jos konsensus on, että laitetaan niin mikäs siinä :)

[jannecederberg]

@VilleTilvis:n kommentin kuulisin mielelläni asiasta.

[NVI]

Ville on tällä hetkellä Enontekiöllä, mutta kommentoi varmaan, kun palaa.

Itse olisin Jannen linjoilla tässä. Olennaista on mielestäni, että lukiokurssien näkökulmasta paraabeli ei ole mikään itseisarvo, ja näin ollen ei ole olennaista (ainakaan ydintekstissä) alkaa pohtimaan muutoin kurssin näkökulmasta epäolennaisten käyrien paraabeliutta. Tämä vastannee myös opetussuunnitelman perusteiden johtoajatusta kurssin MAA4 suhteen.

[wedrawde]

Ihan OK, kykenen tekemään kompromisseja ja mulle on tärkeä :

• looginen eteneminen
  eli tarvii olla tiedossa esim etäisyys kahden pisteen välillä ja pisteen ja suoran välillä.
• pedagogisuus
  jos on paljon sieventämistä ja laskentaa niin kiva saada palkinnoksi uusi mielenkiintoinen havainto

sitten on omat painopistealueet

• tykkään tehtävistä joita voi soveltaa, pidän luonnontieteistä ja fysiikasta
  siksi mulle on tärkeää esim. tehtävä jossa todetaan että
  muotoa y = ax^2 olevan parabelin symmetriaakseli on x = 0
  ja esimerkiksi säde joka lähtee polttopisteestä vaakasuoraan
  eli on suoralla y = 1/(4a) leikkaa parabelin pisteissä ax^2 = 1/(4a)
  eli x = -1/(2a) tai x = 1/(2a) ja tangentti on dy/dx(pisteessä 1/(2a)
  eli y' = 2ax eli 2a/2a = 1 tai 2a/(-2a) = - 1 jolloin kulma on 45 astetta
  ja säde jatkaa pystysuuntaan.

• tykkään kysyä oppilailta miksi parabelin pyörähdyksellä symmetria-akselinsa
  muodostetulla peilipinnalta heijastuneet säteet kohtaavat ja minkälaisia
  sovelluksia siitä on olemassa valoheitin, parabeli-antenni, aurinkoenergia
  keitin jne. Siksi tykkään että on sellaisia käytännöllisiä tehtäviä.
  voi olla vaikka "tutki graafisella laskimella (desmos) tai geogebralla
  miltä käyrä näyttää ja osoita että se täyttää parabelin määritelmän.

• geometrinen määritelmä
  http://www02.oph.fi/etalukio/pitka_matematiikka/kurssi4/paraabeli.html

• 1a) erikoistapaus johtosuora onkin 3x - 4y + 5 = 0 tarkistetaan vaikkapa
  päteekö määritelmä jos polttopiste on ( -4/5, 3/5) ja akseli y = - (3/5)x
  Eli pisteille käyrällä
  $9\cdot x^2+16\cdot y^2+24\cdot x\cdot y+80x-60y=0$

  https://www.desmos.com/calculator/cywijks5oe

• 1b) Tarkista online graafisella työkalulla tai symbolilaskimella

• 1c) Harjoitus online grafiikalla tai graafisella laskimella

[wedrawde]

Joo tää desmos laskin on kuin kaukoputki joka antoi Galileolle syvempää
ymmärrystä planeetoista.
mutta saako lukio-oppilaita valistaa parabelin geometrisesta määritelmästä

• vai onko se liian raju
  pedagoginen veto muuta kuin harmaissa lisätehtävissä ? Toisaalta tekisi
  mieli valistaa että
  parabelin symmetriaakseli voi olla muu kuin y = 0 tai x = 0. Ja sitten voi
  tulla YO tehtävä jossa
  sanotaan että parabelin geometrinen kaava on tämä määritä niiden pisteiden
  joukko joiden
  etäisyys suorasta L ja pisteestä P on yhtä suuri. Onko tämä parabeli,
  missä sen polttopiste
  ja johtosuora taikka akseli ja huippu ?

Ihan jännää kirjan tekeminen - monta seikkaa joita voi pähkäillä.

t. Edi

2013/6/10 Niko Ilomäki [email protected]

Ville on tällä hetkellä Enontekiöllä, mutta kommentoi varmaan, kun palaa.

Itse olisin Jannen linjoilla tässä. Olennaista on mielestäni, että
lukiokurssien näkökulmasta paraabeli ei ole mikään itseisarvo, ja näin
ollen ei ole olennaista (ainakaan ydintekstissä) alkaa pohtimaan muutoin
kurssin näkökulmasta epäolennaisten käyrien yhtälöiden paraabeliutta. Tämä
vastannee myös opetussuunnitelman perusteiden johtoajatusta kurssin MAA4
suhteen.

—
Reply to this email directly or view it on GitHubhttps://github.com//issues/19#issuecomment-19173636
.

[wedrawde]

https://www.desmos.com/calculator/92d2citl43

2013/6/10 Edward Krogius [email protected]

Joo tää desmos laskin on kuin kaukoputki joka antoi Galileolle syvempää
ymmärrystä planeetoista.
mutta saako lukio-oppilaita valistaa parabelin geometrisesta määritelmästä

• vai onko se liian raju
  pedagoginen veto muuta kuin harmaissa lisätehtävissä ? Toisaalta tekisi
  mieli valistaa että
  parabelin symmetriaakseli voi olla muu kuin y = 0 tai x = 0. Ja sitten
  voi tulla YO tehtävä jossa
  sanotaan että parabelin geometrinen kaava on tämä määritä niiden pisteiden
  joukko joiden
  etäisyys suorasta L ja pisteestä P on yhtä suuri. Onko tämä parabeli,
  missä sen polttopiste
  ja johtosuora taikka akseli ja huippu ?

Ihan jännää kirjan tekeminen - monta seikkaa joita voi pähkäillä.

t. Edi

2013/6/10 Niko Ilomäki [email protected]

Ville on tällä hetkellä Enontekiöllä, mutta kommentoi varmaan, kun palaa.

Itse olisin Jannen linjoilla tässä. Olennaista on mielestäni, että
lukiokurssien näkökulmasta paraabeli ei ole mikään itseisarvo, ja näin
ollen ei ole olennaista (ainakaan ydintekstissä) alkaa pohtimaan muutoin
kurssin näkökulmasta epäolennaisten käyrien yhtälöiden paraabeliutta. Tämä
vastannee myös opetussuunnitelman perusteiden johtoajatusta kurssin MAA4
suhteen.

—
Reply to this email directly or view it on GitHubhttps://github.com//issues/19#issuecomment-19173636
.

[wedrawde]

Laitoin matikkabloggiini laskuesimerkin joka toimii johdatuksena "kartioleikkauksille", matriisirotaatioon ja pinta-alojen laskemiseen integroimalla, ettei lukiolaisille jää mielikuva että kaikki parabelit on aina koordinaatisto-akselien suuntaisia.

http://matteverkstaden.wordpress.com/2013/06/10/litet-sneda-parabler/